[数据结构] ST表 | ST表的应用 | 解决RMQ问题

ST表

概览与说明

1、 设计目标

ST表（Sparse Table）用于高效解决静态区间最值查询（RMQ）问题，通过倍增思想实现 $O(nlogn)$ 预处理和 $O(1)$单次查询，适合处理不修改数据的场景。

2、 预处理与存储结构

• 定义二维数组st[i][j]，表示从位置 $i$ 开始、长度为 $2^j$ 的区间的最值（如最大值）。
• 递推关系：$st[i][j]=max(st[i][j-1],st[i+2^{j-1}][j-1])$，即通过合并两个相邻子区间的最值得到更大区间的最值。

3、 对数表优化

预处理log_table[i]数组，快速计算区间长度对应的指数 $k$ （ 满足 $2^k\le len$ ），避免重复调用 $log$ 函数，提升查询效率。

ST表的实现代码

1、 预处理Log表

int log_table[MAXN];
void init_log() {
    log_table[1] = 0;
    for (int i = 2; i < MAXN; i++) 
        log_table[i] = log_table[i/2] + 1;
}

2、 构建ST表

int st[MAXN][21]; // 第二维大小设为log2(MAXN)+1
void build(int a[], int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) st[i][0] = a[i]; // 初始化长度为1的区间
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) 
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) 
            st[i][j] = max(st[i][j-1], st[i + (1 << (j-1))][j-1]);
}

3、 区间查询

int query(int l, int r) {
    int k = log_table[r - l + 1];
    return max(st[l][k], st[r - (1 << k) + 1][k]);
}

关键细节、优化及说明

细节处理：

1. 边界处理

• 构建时需保证 $i+(1<<j)-1<=n$ ，防止数组越界。
• 查询时通过 $r-(1<<k)+1$ 确保分割后的区间覆盖原区间且不越界。

2. 空间与时间权衡

   • 空间复杂度为 $O(nlogn)$ ，适用于数据规模较大的场景。

   • 与线段树（ $O(n)$ 空间）相比，ST表查询更快但不支持动态修改。

典型应用场景：

1. 静态区间最值（RMQ问题）：

   如洛谷P3865，直接应用模板查询最大值。

2. 扩展操作：

   • 区间最小值：将max替换为min。
   • 区间GCD/按位与/或：利用可重复贡献性质，修改合并逻辑。

3. 高维RMQ：
   二维ST表预处理子矩阵最值，查询时分解为四个子矩阵。

对比其他数据结构：

结构	预处理时间	查询时间	动态更新	适用场景
ST表	$O(nlogn)$	$O(1)$	不支持	静态区间最值
线段树	$O(n)$	$O(logn)$	支持	动态区间操作
单调队列	$O(n)$	$O(1)$	支持	滑动窗口最值

练习题目推荐：

1. 模板题

   • 洛谷P3865 【模板】ST表

2. 变种应用

   • CF803G Periodic RMQ Problem（结合动态开点）
   • 洛谷P1816 忠诚（区间最小值）