小批量随机优化算法为何要除以批量大小batch_size?

在小批量随机梯度下降（Mini-batch Stochastic Gradient Descent, SGD）中，将梯度除以批量大小（batch_size）的主要原因是对梯度进行平均化处理，从而保持更新步伐的一致性。下面详细说明这个过程的原因和意义：

1. 梯度是损失函数的总和的导数

在机器学习中，模型的损失函数通常是关于整个数据集的。比如在最小化均方误差（MSE）时，损失函数的计算公式为：

其中，n是数据集的大小，ℓ(f(xi),yi)\ell(f(x_i), y_i)ℓ(f(xi​),yi​) 是单个数据点的损失。为了高效计算，SGD 在每个迭代中并不是计算整个数据集的损失，而是基于一个小批量数据进行估计。假设批量大小为 batch_size，那么我们计算的损失是：

因此，梯度计算也是基于这部分小批量数据的总损失。不过，如果我们直接使用这个总梯度进行参数更新，梯度的大小将会与批量大小成正比。为了避免这个问题，我们需要将梯度除以 batch_size，即：

2. 梯度的平均化

梯度的大小与批量大小直接相关。假设我们没有除以 batch_size，那么当批量大小变大时，梯度的值也会随之增大，导致参数更新幅度过大，甚至可能导致优化过程不稳定。因此，我们需要对梯度进行平均化，以确保每次参数更新的步伐不依赖于批量大小：

其中，η是学习率，θ 是模型的参数，Δθ\Delta \thetaΔθ 是参数更新值。通过这种方式，我们确保无论批量大小是多少，参数的更新幅度主要由学习率控制，而不是由批量大小决定。

3. 一致性和稳定性

除以 batch_size 还能带来以下几个好处：

• 保持一致性：当我们在不同的 batch_size 设置下训练模型时，平均梯度能够保证学习率与批量大小无关，从而可以更容易地调节和设置学习率。
• 稳定性：如果不进行平均化，当 batch_size 较大时，未归一化的梯度会使参数更新过大，可能导致模型在优化过程中发散；而当 batch_size 较小时，更新步伐又可能过小，导致收敛速度变慢。

4. 与全局梯度的关系

当我们使用小批量数据计算梯度时，实际上是对全局梯度的一种估计。如果小批量中的样本足够具有代表性，平均梯度会与整个数据集的梯度相近。因此，通过对小批量数据的梯度进行平均化处理，我们可以在更少的计算量下获得类似全局梯度的更新效果。

结论

在小批量随机梯度下降中，除以 batch_size 可以使梯度更新更加稳定，保持与批量大小无关的学习率调节效果，并有助于优化算法的收敛速度和稳定性。

梯度本质是损失函数loss的导数，模拟下山的方法，用参数params减去梯度除以batch_size

而不是除以全局样本量n，可以有效保证梯度下降的幅度不受小批量样本量batch_size的影响。