机器学习(一)线性回归

1. 线性回归

线性回归推导

线性回归是机器学习中的一种基本模型，它是通过对数据集的学习来建立一个线性函数模型，使得预测的值与真实值的误差尽可能地小。下面我们将详细介绍线性回归的原理和推导过程。

首先，我们定义线性回归的模型为：

$$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2+...+{\theta }_n{x}_n$$

其中，$x_i$为第$i$个特征，${\theta }_i$为第$i$个参数，$n$为特征的数量。我们将数据集表示为$(x^{(1)},y^{(1)}),...,(x^{(m)},y^{(m)})$，其中$x^{(i)}$为第$i$个样本的特征向量，$y^{(i)}$为第$i$个样本的真实值。对于给定的$\theta$和$x^{(i)}$，我们可以使用模型$h_{\theta }(x^{(i)})$来预测样本$x^{(i)}$的真实值$y^{(i)}$。

接下来，我们需要定义一个损失函数来衡量模型预测值与真实值之间的误差。常用的损失函数是均方误差（Mean Squared Error）：

$$J(\theta )=\frac{1}{2m}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$

其中，$\frac{1}{2m}$是为了方便求导。我们的目标是通过最小化损失函数$J(\theta )$来找到最优的参数$\theta$。

接下来，我们使用梯度下降算法来求解最优的参数$\theta$。梯度下降算法的基本思想是不断迭代，每次更新参数$\theta$，使得损失函数$J(\theta )$最小化。

具体地，我们定义${\theta }_j$的更新规则为：

$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_j}$$

其中，$\alpha$为学习率，是一个超参数，控制每次更新的步长。

我们可以通过求解损失函数$J(\theta )$的偏导数来推导出梯度下降的更新规则。偏导数的计算过程如下：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial J(\theta )}{\partial {\theta }_j}& =\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}\frac{1}{2}(h_{\theta }(x)-y{)}^2\\ & =2\cdot \frac{1}{2}(h_{\theta }(x)-y)\cdot \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}(h_{\theta }(x)-y)\\ & =(h_{\theta }(x)-y)\cdot \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}(\sum _{i=0}^d{\theta }_i{x}_i-y)\\ & =(h_{\theta }(x)-y)x_j\end{array}$$
$d$表示一个样本有d个特征向量。

因此，我们的参数更新规则为梯度下降算法的标准形式：
$${\theta }_j:={\theta }_j+\alpha (y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}))x_j^{(i)}$$

我们可以不断迭代，直到达到预设定的停止条件，例如达到最大迭代次数或者损失函数的变化不再明显。

接下来，我们将从推导的角度，详细介绍最小二乘法的求解过程。最小二乘法是一种常用的线性回归方法，它通过最小化误差的平方和来求解最优参数。

首先，我们将线性回归的模型重新写成矩阵形式：

$$h_{\theta }(X)=X\theta$$

其中，$X$是$m\times (n+1)$的矩阵，包含所有的训练样本和它们对应的特征值，$\theta$是$(n+1)\times 1$的参数向量。

我们将目标值$y$表示成$m\times 1$的向量，数据集可以表示为：

$$\left[\begin{array}{cccc}{x}_0^{(1)}& x_1^{(1)}& ...& x_n^{(1)}\\ x_0^{(2)}& x_1^{(2)}& ...& x_n^{(2)}\\ ...& ...& ...& ...\\ x_0^{(m)}& x_1^{(m)}& ...& x_n^{(m)}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\theta }_0{\theta }_1...{\theta }_n\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}{y}^{(1)}{y}^{(2)}...y^{(m)}\end{array}\right]$$

我们的目标是找到一个参数向量$\theta$，使得误差的平方和最小化。这可以表示为：

$$\underset{\theta }{\min }J(\theta )=\frac{1}{2}(X\theta -y{)}^T(X\theta -y)$$

其中，$J(\theta )$是误差的平方和，${}^T$表示矩阵的转置。

为了求解最优的参数向量$\theta$，我们需要对$J(\theta )$求偏导数，并令其等于0。具体地，我们需要求解：

$$\frac{\partial J(\theta )}{\partial \theta }=\frac{\partial }{\partial \theta }\frac{1}{2}(X\theta -y{)}^T(X\theta -y)$$

根据矩阵求导法则，我们有：

$$\frac{\partial J(\theta )}{\partial \theta }=X^T(X\theta -y)$$

将其令为0，我们得到：

$$X^T(X\theta -y)=0$$

移项得到：

$$X^{T}X\theta =X^{T}y$$

最后，我们就可以通过求解线性方程组$X^{T}X\theta =X^{T}y$来得到最优的参数向量$\theta$。

如果$X^{T}X$是可逆的，那么解为：

$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$

如果$X^{T}X$不可逆，我们可以使用正则化方法来解决这个问题。正则化方法是在损失函数中加入一个正则项，以抑制模型复杂度过高带来的过拟合问题。

常见的正则化方法包括L1正则化和L2正则化。L1正则化在损失函数中加入$\lambda ||\theta |{|}_1$，其中$\lambda$是正则化参数，$||\theta |{|}_1$是参数向量$\theta$的L1范数。L2正则化在损失函数中加入$\lambda ||\theta |{|}_2^2$，其中$\lambda$是正则化参数，$||\theta |{|}_2$是参数向量$\theta$的L2范数。

以L2正则化为例，我们需要求解的是以下线性方程组：

$$(X^{T}X+\lambda I)\theta =X^{T}y$$

其中，$I$是一个$(n+1)\times (n+1)$的单位矩阵。如果$\lambda =0$，则L2正则化就退化为最小二乘法。

至此，我们介绍了线性回归模型的基本概念、模型形式以及如何使用最小二乘法求解最优参数。在实际应用中，我们还需要考虑许多其他因素，如特征选择、模型评估、数据预处理等。但是，理解线性回归模型的核心思想和求解方法是非常重要的基础知识。

总结一下，线性回归模型是一个用于建立特征与目标变量之间线性关系的模型。最小二乘法是一种基本的线性回归方法，它通过最小化误差的平方和来求解最优参数。如果数据集很大，我们可以使用随机梯度下降等优化方法来加速求解。在实际应用中，我们还需要考虑模型的评估和调优等问题。

线性回归的简单范例及其代码：

import numpy as np  
import pandas as pd  
import matplotlib.pyplot as plt  
  
  
def BGD(learning_rate, theta, input, label):  
    grad = []  
    for i, j in zip(input, label):  
        pred = i.dot(theta.T)  
        grad.append((j - pred) * i)  
    grad = np.average(grad, axis=0).reshape(1, 2)  
    theta = theta + learning_rate * grad  
    return theta  
  
  
def train_BGD(times, learning_rate, theta, input, label):  
    for _ in range(times):  
        theta = BGD(learning_rate, theta, input, label)  
    return theta  
  
  
data = pd.read_csv('data', sep='\s+', names=['x1', 'x2', 'x3'])  
data = np.array(data)  
input_data = data[:, :2]  
result = data[:, 2]  
  
theta = np.random.rand(1,input_data.shape[1])  
  
theta = train_BGD(10000,0.001,theta,input_data,result)  
  
plt.plot(input_data[:,1],input_data.dot(theta.T))  
plt.scatter(input_data[:,1],result,c='y')  
plt.show()

运行结果：

线性回归的简单范例及其代码：

数据集下载：https://download.youkuaiyun.com/download/qq_60980658/87530135

import numpy as np  
import pandas as pd  
import matplotlib.pyplot as plt  
  
  
def BGD(learning_rate, theta, input, label):  
    grad = []  
    for i, j in zip(input, label):  
        pred = i.dot(theta.T)  
        grad.append((j - pred) * i)  
    grad = np.average(grad, axis=0).reshape(1, 2)  
    theta = theta + learning_rate * grad  
    return theta  
  
  
def train_BGD(times, learning_rate, theta, input, label):  
    for _ in range(times):  
        theta = BGD(learning_rate, theta, input, label)  
    return theta  
  
  
data = pd.read_csv('data', sep='\s+', names=['x1', 'x2', 'x3'])  
data = np.array(data)  
input_data = data[:, :2]  
result = data[:, 2]  
  
theta = np.random.rand(1,input_data.shape[1])  
  
theta = train_BGD(10000,0.001,theta,input_data,result)  
  
plt.plot(input_data[:,1],input_data.dot(theta.T))  
plt.scatter(input_data[:,1],result,c='y')  
plt.show()

运行结果：