2023河南萌新联赛第（五）场：郑州轻工业大学-K 01BFS

2023河南萌新联赛第（五）场：郑州轻工业大学-K 01BFS

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/62977/K

题目大意

给定一个 $n\times m(1\le n\times m\le 1e6)$的矩阵$G$每个单元有权值$G_{i,j}(1\le G_{i,j}\le 1e5)$，请选定其中一个单元为起点，再选定一个起始方向（上下左右），可以多次跳到该方向上权值严格大于当前单元权值的单元上，如果最开始选择的为左右方向，可换一次方向（上或下）继续跳，如果最开始选择的为上下方向，可换一次方向（左或右）继续跳，也可以不换方向，求最多能跳多少次？

解题思路

注意到做多只能转一次方向，可以考虑枚举转折点。当某个点$[x,y]$作为转折点时有$12$种情况：从该点的四个方向中的一个方向进来，再从剩下三个方向中的一个方向出去。对于任意一个方向进来时，我们可以计算该方向到该点为止的最长上升子序列（可以保证跳的次数最多），对于从任意一个方向出去，可以计算从该点出发的最长上升子序列，枚举$12$种情况，求出最大值。

最长上升子序列

$O(n^2)$做法

设$d{p}_i$表示终点为$i$的最长上升子序列，转移式：
$$d{p}_i=Ma{x}_{j<i\&a_j<a_i}(d{p}_j)+1$$

$O(nlogn)$做法

观察到对于$i>j\&a_i<a_j\&d{p}_i>d{p}_j$的情况来说，$j$对于后续没有贡献，故可以维护一个单调栈来存储，求$d{p}_i$时只要在单调栈中二分求取第一个大于等于$a_i$的值并替换掉它即可，由于每跳一步贡献都相同，设被替换掉的数在栈中的位数为$k$，$d{p}_i=d{p}_{s_{k-1}}+1=d{p}_k=k$，故可以直接替换$s_k$，$d{p}_i=k$

直接求从某点从任意一个方向出发的最长上升子序列并不容易，可以转化为求该方向上以该点为中点的最长下降子序列，两者是等价的。

注意

本题数据为$n\times m\le 1e6$，需要用$vector$开动态数组

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,T;
int main(){
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n>>m;
		int t;
        vector<vector<array<int,9>>>f(n,vector<array<int,9>>(m));
        n--,m--;
		for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
		cin>>f[i][j][0];
		//f[1]第i行以j为终点的向右的最长上升子序列， f[3]第i行以j为终点的向左的最长上升子序列，
		// f[2]第i行以j为终点的向右的最长下降子序列， f[4]第i行以j为终点的向左的最长下降子序列，  
		// f[5]第j列以i为终点的向下的最长上升子序列， f[7]第j列以i为终点的向上的最长上升子序列，
		// f[6]第j列以i为终点的向下的最长下降子序列， f[8]第j列以i为终点的向上的最长下降子序列，
		for(int i=0;i<=n;i++){
			t=0;
            vector<int>s;
			s.push_back(0);
			for(int j=0;j<=m;j++){
				int id;
				if(s[t]<f[i][j][0])s.pb(f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][1]=id;
			}
            s.clear();
			t=0;
			s.push_back(0);
			for(int j=m;j>=0;j--){
				int id;
				if(s[t]<f[i][j][0])s.pb(f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][3]=id;
			}
            s.clear();
            s.push_back(-0x3f3f3f3f);
			t=0;
			for(int j=0;j<=m;j++){
				int id;
				if(s[t]<-f[i][j][0])s.pb(-f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),-f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=-f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][2]=id;
			}
			s.clear();
            s.push_back(-0x3f3f3f3f);
			t=0;
			for(int j=m;j>=0;j--){
				int id;
				if(s[t]<-f[i][j][0])s.pb(-f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),-f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=-f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][4]=id;
			}
		}
		for(int j=0;j<=m;j++){
			t=0;
            vector<int>s;
			s.push_back(0);
			for(int i=0;i<=n;i++){
				int id;
				if(s[t]<f[i][j][0])s.pb(f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][5]=id;
			}
            s.clear();
			t=0;
			s.push_back(0);
			for(int i=n;i>=0;i--){
				int id;
				if(s[t]<f[i][j][0])s.pb(f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][7]=id;
			}
            s.clear();
			s.push_back(-0x3f3f3f3f);
			t=0;
			for(int i=0;i<=n;i++){
				int id;
				if(s[t]<-f[i][j][0])s.pb(-f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),-f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=-f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][6]=id;
			}
			s.clear();
			s.push_back(-0x3f3f3f3f);
			t=0;
			for(int i=n;i>=0;i--){
				int id;
				if(s[t]<-f[i][j][0])s.pb(-f[i][j][0]),id=++t;
				else{
					id=lower_bound(s.begin(),s.end(),-f[i][j][0])-s.begin();
					s[id]=-f[i][j][0];	
				}
				f[i][j][8]=id;
			}
		}
		int ma=0;
		for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++){
			for(int k=1;k<=8;k+=2)
			for(int l=2;l<=8;l+=2)
			if(l!=k+1) 
			ma=max(ma,f[i][j][k]+f[i][j][l]-1);
		}
		cout<<ma<<'\n';
	}
}