“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营6-C Forest

"蔚来杯"2022牛客暑期多校训练营6-C Forest

原题题面：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33191/C

题目大意

给定$n(1\le n\le 16)$个点$m(1\le m\le 100)$条正边权的无向简单图，求每个生成子图的最小生成森林的权值和，答案对$998244353$取模。

定义点集$V$，边集$E$，的图$G$的最小生成森林为：

• 最小生成森林的边集$S\subseteq E$。
• 任意两个节点的连通性不变。
• $S$为满足以上条件的最小权值。
  图$G$的生成子图为具有点集$V$和边集为$E$的子集所构成的图。

解题思路

看到范围，枚举显然不行。不妨将问题转换为求每条边对于总权值的贡献之和。

枚举边 e i = { u i , v i , w i } e_i=\{u_i,v_i,w_i\} ei​={ui​,vi​,wi​}，分别求每条边的贡献，什么时候会将$e_i$放入最小生成森林？先将边按权值从大到小排序，若边编号在$[1,i-1]$的边无法使$u_i,v_i$连通，则会加边$e_i$，而边编号在$[i+1,m]$的边的影响显然为$2^{m-i}$。

对于边编号在$[1,i-1]$的无法使$u_i,v_i$连通的边的影响，不太好求，不妨考虑使总方案数$-[1,i-1]$之间的边使$u_i$与$v_i$连通的方案数。

不妨设点的全集为$V$，边编号在$[1,i-1]$之间的若干边构成使$u_i$与$v_i$连通的连通块点集为$S$，方案数为$f_{i-1}(S)$，端点均在点集$A$中且边编号在$[1,i-1]$内的边数量为$cn{t}_{i-1}$。
可得转移式：
$$cn{t}_i(A)=cn{t}_{i-1}(A)+[u_i\in A\&v_i\in A]$$
每条边分为三种情况：

• 端点都不在点集$S$中，对答案的贡献显然为$2^{cn{t}_{i-1}(V-S)}$。
• 有且只有一个端点在$S$中，不可选，没有贡献。
• 端点都在点集$S$中。

对于新加入的边 e i = { u i , v i , w i } e_i=\{u_i,v_i,w_i\} ei​={ui​,vi​,wi​}有两种情况：

1. $u_i\in S,v_i\in S$
2. The others

对于第二种情况，该边对$f_i(S)$没有贡献；
对于第一种情况，对$f_i(S)$的贡献为$\ast 2$，若$u_i,v_i$不在同一个连通快中，还要加上连接两部分的贡献。
则：
$$f_i(S)=\{\begin{array}{ll}2f_{i-1}(S)+{\sum }_{T\in S,u_i\in T,v_i\notin T}{f}_{i-1}(T)f_{i-1}(S-T)& u_i\in S,v_i\in S\\ f_{i-1}(S)& others\end{array}$$
边$e_i$对于结果的贡献为：
$$An{s}_i=w_i\times 2^{m-i}(2^{i-1}-\sum _{S\subset V,u_i\in S,v_i\in S}{f}_{i-1}(S)2^{cn{t}_{i-1}(V-S)})$$

代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20,mod=998244353;
struct node{
	int x,y,w;
	node(int x,int y,int w):x(x),y(y),w(w){};
};
template <class T> inline void read(T&x){
    char c,last=' ';
    while(!isdigit(c=getchar()))last=c;
    x=c^48;
    while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    if(last=='-')x=-x;
}
int n,f[1<<N],ans,cnt[1<<N],fac[101],p[1<<N],w,V;
vector<node>g;
int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y){return (long long)x*y%mod;}
bool cmp(node a,node b){
	return a.w<b.w;
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			read(w);
			if(j>i&&w){
				g.push_back(node(i,j,w));
			}
		}
	}
	V=dec(1<<n,1);
	sort(g.begin(),g.end(),cmp);
	fac[0]=1;
    for(int i=0;i<n;i++)f[1<<i]=1;
	for(int i=1;i<=100;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],2);
	for(int i=0;i<g.size();i++){
		int u=g[i].x,v=g[i].y,w=g[i].w;u--,v--;
		int sum=fac[i],t=V;
        t^=1<<u,t^=1<<v;
		for(int j=0;j<=V;j++)if(1<<u&j&&1<<v&j)sum=dec(sum,mul(f[j],fac[cnt[V^j]]));
        ans=add(ans,mul(w,mul(fac[g.size()-i-1],sum)));
		for(int j=0;j<=V;++j)if(j&1<<u&&j&1<<v)cnt[j]++;
		for(int j=t;~j;j=(j?(j-1)&t:-1))
		for(int k=j;~k;k=(k?(k-1)&j:-1))
            p[j|1<<u|1<<v]=add(p[j|1<<u|1<<v],mul(f[(j^k)|1<<u],f[k|1<<v]));
		for(int j=0;j<=V;j++){
            if(j&1<<u&&j&1<<v)f[j]=add(f[j],f[j]);
            f[j]=add(f[j],p[j]);p[j]=0;
        }
	}
	cout<<ans;
}