0-1背包的解法-（动归，贪心，回溯，分支限界）

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本文深入探讨了背包问题的四种经典解决方法：动态规划法、贪心法、回溯法及分支限界法，并对比了各自的优缺点。通过具体实例演示了每种方法的实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

动态规划法：

任务描述

动态规划法：

任务描述

给定n个物品和一背包，物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？

输入格式

第一行输入一个n，c，代表有n个物品背包容量为c
接下来n行，每行输入wi，和vi
其中0<n,c,wi,vi<5000

输出格式

输出一个数，代表最大价值。

输入

4 8
2 3
3 4
4 5
5 6

输出

算法思想

声明一个大小为 m[n][c] 的二维数组，m[ i ][ j ] 表示在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，

（1）. j < w[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿

m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]

（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。

如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。这里的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。

如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）

究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

该算法的时间和空间复杂度均为O(c*n)

状态转移方程：

if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];

代码

/* 从后往前推，例子如下
w  v  n  0 1 2 3 4 5 6 7 8  c
	  0  0 0 0 0 0 0 0 0 0
2  3  1  0 0 3 4 5 7 8 9 10
3  4  2  0 0 0 4 5 6 6 9 10
4  5  3  0 0 0 0 5 6 6 6 6
5  6  4  0 0 0 0 0 6 6 6 6   
*/
 #include<stdio.h>
int max(int i,int j){
 	if(i>j) return i;
 	else return j;
 }
 void sack(int n,int c,int *w,int *v){
 	int m[n+1][c+1];
 	for(int i=0;i<=c;i++){//初始化m 
 		m[0][i]=0;
	 }
	for(int j=0;j<=n;j++){
		m[j][0]=0;
	}
	for(int i=1;i<=c;i++){//初始化最后一行 
		if(w[n]>i){
			m[n][i]=0;
		}
		else m[n][i]=v[n];
	}
	for(int i=n-1;i>=1;i--){//从倒数第二排开始 
		for(int j=1;j<=c;j++){
			m[i][j]=m[i+1][j];
			if(w[i]<=j){
				m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);
			}
		}
	}
	printf("%d",m[1][c]);
 }
 int main(){
     int n,c;
     int w[5000];
     int v[5000];
     scanf("%d %d",&n,&c);
     for(int i=1;i<=n;i++){
         scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
     }
     sack(n,c,w,v);
     return 0;
 }

贪心法

问题描述

现在有很多物品（它们是可以分割的）,每个物品有多个，我们知道它们每个物品的价值v和重量w（1<=v,w<=10）；如果给你一个背包它能容纳的重量为m（10<=m<=20）,你所要做的就是把物品装到背包里，使背包里的物品的价值总和最大。

输入格式

第一行有两个正整数s，m（1<=s<=10）;s表示有s个物品。接下来的s行每行有两个正整数w,v。

输出格式

输出每组测试数据中背包内的物品的价值和，每次输出占一行。

输入样例

3 15
5 10
2 8
3 9

输出样例

算法思想

为了尽可能的得到最优解,选择物品时,总是选择v[i]/w[i]最大的物品装进去，首先按照v[i]/w[i]降序排列，然后将对应的w,v数组的位置也进行交换，最后按照位置一个一个放，直到放不下了为止。

代码

#include<stdio.h>
void change(int &m,int &n){
     int temp=n;
     n=m;
     m=temp;
 }
 void sort(int wv[][2],int n){
     for(int j=n-1;j>0;j--){
     for(int i=0;i<j;i++){
         if(wv[i][1]/wv[i][0]<wv[i+1][1]/wv[i+1][0]){
             change(wv[i][0],wv[i+1][0]);
			 change(wv[i][1],wv[i+1][1]);
            }//按单位价值排序，先选择多的
        }
    }
 }
int main(){
	int s,m;
	int count=0;//总和
	scanf("%d %d",&s,&m);
	int wv[s][2];
	for(int i=0;i<s;i++){
		scanf("%d %d",&wv[i][0],&wv[i][1]);
	}
	sort(wv,s);

			count+=(wv[0][1]/wv[0][0])*m;
	printf("%d",count);
	return 0;
}

回溯法

任务描述

输入格式

第一行输入n，c，分别代表物品的数量和背包的容量
第二行输入n个数分别代表每个物品的重量
第三行输入n个数，分别代表每个物品的价值
1<n<100,1<c<100,重量不超过100，价值不超过1000

输出格式0

输出一个数，代表能装入的最大价值

Sample Input

4 7
3 5 2 1
9 10 7 4

Sample Output

算法思想

使用二叉树构建解空间，这里解空间的一个结点共有两个候选值0、1 。 0代表不放进背包中（右子树）， 1代表放进背包中（左子树），重要的就是要进行左剪枝和右剪枝。当当前已经装了的重量加上这个物品的重量大于背包容量则进行左剪枝，当已经得到的价值加上剩余的总价值都比最好的价值小则进行右剪枝。

在最坏的情况下，所搜索的结果是一个满二叉树，此时相当于采用的就是穷举法，时间复杂度为，而每次决定是否要讲n个物品放入背包都要进行比较，这一步的时间复杂度为n，所以最坏情况下时间复杂度为。

代码

#include<stdio.h>
int n;//物品数量
int c;//背包重量
int w[100];//物品重量
int v[100];//物品价值
int cp=0;//目前装了的总价值
int rp;//还没有装的物品的总价值
int cw=0;//目前装了的总重量
int bestp=0;//目前得到的最大的价值
void package(int i,int cp,int rp,int cw){
    if(i>=n){//到达叶子节点时
        if(cp>bestp){
            bestp=cp;
        }
    }
    else{
        if(cw+w[i]<=c){//左剪枝
            package(i+1,cp+v[i],rp-v[i],cw+w[i]);
        }
        if(cp+rp>bestp){
            package(i+1,cp,rp-v[i],cw);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d %d",&n,&c);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&w[i]);
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%d",&v[i]);
        rp+=v[i];
    }
    package(0,cp,rp,cw);
    printf("%d",bestp);
    return 0;
}

分支限界法

算法思想

分支限界法类似于回溯法，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。

由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。

0-1背包的解空间用子集树表示，左子节点表示当前物品放入，右子节点表示当前物品不放入。
优先级：按照优先队列中节点元素N的优先级由上界函数bound计算出的uprofit给出。(就是以物品的单位重量价值降序排序，然后填装剩余容量（使用了贪心））
如果到达了叶节点，由于使用的是优先队列，所有活结点价值上届不超过该叶节点价值，是最优值
左子节点：
①左儿子节点加入背包后重量小于背包总容量wt <= c；
②左子节点加入背包后判断当前背包价值是否大于总价值，如果是那么将会更新bestp，尽管当前还没有找到一个解向量
③AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);
右子节点：
①当前背包价值+剩下物品装满背包的价值之和大于当前最大价值up = Bound(i+1)，up>=bestp
②up = Bound(i+1);，AddLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],true,i+1);

在while循环内部，算法首先检查当前扩展结点的左儿子结点的可行性。如果该左儿子结点是可行结点，则将它加入到子集树和活结点优先队列中。当前扩展结点的右儿子结点一定是可行结点，仅当右儿子结点满足上界约束时才将它加入子集树和活结点优先队列。