概率论与数理统计_知识总结之概率论部分

这篇文章主要是介绍一些简单的知识总结，其实还有例题，可以见本专栏的文章“概率论与数理统计_重要例题之概率论部分”

目录

相关字母

相关概念与性质

相关知识

事件的关系及运算

与概率有关的公式

几种重要的离散型随机变量的分布

分布函数与连续型随机变量X的概率密度f(x)

 常用连续型随机变量的分布 

离散型和连续型、一维与多维的随机变量及其概率分布的一些比较

离散场合和连续场合的边缘分布和条件分布 

数学期望

方差

几种重要分布的期望与方差

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相关字母

相关字母总结

简单信息
E	随机试验（试验）
A,B,C,...	随机事件（事件）
ω	样本点
Ω	样本空间
P(A)	事件A的概率
X，Y，Z，…或ζ，ξ，𝜂，…	随机变量
𝐸(𝑋)	随机变量X的数学期望
𝐷(𝑋)=𝑉𝑎𝑟(𝑋)=𝐸[𝑋−𝐸(𝑋)]^2	随机变量X的方差
𝐸{[𝑋−𝐸(𝑋)][𝑌−𝐸(𝑌)]}或𝐶𝑜𝑣(𝑋,𝑌)	随机变量𝑋和𝑌的协方差
𝜌𝑋𝑌	随机变量𝑋和𝑌的相关系数
一维离散型
D.R.V	离散型随机变量
𝑃{𝑋=𝑥𝑖}=𝑝𝑖，𝑖=1,2,…	离散型随机变量X的分布律或概率分布或概率函数
𝑿~𝑩(𝟏,𝒑)	随机变量X服从参数为𝑝的0-1分布，或两点分布
𝑿~𝑩(𝐧,𝒑)	随机变量X服从参数n，𝒑的二项分布
𝑿∼𝑷(𝝀)	泊松变量X服从参数为𝝀的泊松分布
𝑿~𝑮(𝒑)	几何变量𝑋服从参数为𝑝的几何分布
𝑿~𝑯(𝑵,𝑴,𝒏)	超几何变量𝑋服从参数为𝑁,𝑀,𝑛的超几何分布
𝐹(𝑥)=𝑃{𝑋≤𝑥}	𝑋的概率分布函数，简称分布函数
一维连续型
C.R.V	连续型随机变量
𝑋~𝑓(𝑥)	𝑓(𝑥)称为𝑋的概率密度函数（简称为概率密度）
𝑋∼𝑈(𝑎,𝑏)	随机变量X在区间𝑎,𝑏上服从均匀分布
X ∼E(𝜆)	X服从参数为𝜆的指数分布
X ∼N (𝜇,𝜎^2)	X 服从参数为𝜇和𝜎的正态分布（Gauss分布）
X ∼N (0,1)	X 服从参数为𝜇和𝜎的标准正态分布
二维
(X,Y)	二维随机变量
𝐹(𝑥,𝑦)	二维随机变量𝑋,𝑌的分布函数
𝐹𝑋(𝑥)，𝐹𝑌(𝑦)	二维随机变量(𝑋,𝑌)关于𝑋和关于𝑌的边缘分布函数
𝑃{𝑋≤𝑥,𝑌≤𝑦}=𝑃{𝑋≤𝑥}𝑃{𝑌≤𝑦} 或𝐹(𝑥,𝑦)=𝐹𝑋(𝑥)𝐹Y(y)	𝑋和𝑌相互独立
二维离散型
𝑃{𝑋=𝑥𝑖,𝑌=𝑦𝑗}=𝑝𝑖𝑗，𝑖,𝑗=1,2,⋯	二维离散型随机变量𝑋,𝑌的分布律(联合分布律)
𝑝𝑖·,𝑝·𝑗	二维离散型随机变量𝑋,𝑌的边缘分布律
二维连续型
函数𝑓(𝑥,𝑦)	𝑋,𝑌的概率密度或随机变量𝑋和𝑌的联合概率密度
(𝑋,𝑌)∼𝑁(𝜇1,𝜎1^2;𝜇2,𝜎2^2;𝜌)	二维正态分布变量
𝑓𝑋(𝑥),𝑓Y(𝑦)	连续型随机变量(𝑋,𝑌)关于X,Y的边缘概率密度
𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦)=𝑓(𝑥,𝑦)/𝑓(𝑦)	𝑌=𝑦的条件下𝑋的条件概率密度

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相关概念与性质

必然现象——在一定条件下，必然会出现某种结果的现象。

随机现象——在一定条件下，有多种可能结果，且事前不能预言哪种结果会出现。

随机试验（试验）——以随机现象为观察对象的实验统称为随机试验，简称为试验。（用E表示）

随机试验具有如下特点：
    a. 试验的可重复性---可以在相同的条件下重复地进行；
    b. 全部实验结果的可知性---每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确试验的所有可能结果；
    c. 一次试验结果的随机性---进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现

随机事件（事件）——在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情。（用A,B,C,...表示）

基本事件——不可能再分解的事件。

复合事件——由若干基本事件组合而成的实践。

必然事件——在一定条件下必然要发生的事件。

不可能事件——在一定条件下必然不发生的事件。

样本点——随机试验的每一个基本结果（用ω表示）。

样本空间——随机试验的所有样本点组成的集合（用Ω表示）。

古典型随机试验（古典概型）

古典型随机试验E有如下两个特征：

1、有限性：E的样本空间Ω只含有n个基本事件，记作𝜔1, 𝜔2, . . . 𝜔𝑛, 即 Ω = {𝜔1, 𝜔2, . . . 𝜔𝑛}
2、等可能性：E的各基本事件{𝜔1}, {𝜔2}, . . . {𝜔𝑛}发生是等可能的。

几何概型——设试验E满足试验的全部可能结果构成平面上某一可求积的区域Ω；任一事件发生的概率与其在区域Ω中的面积成正比，而与其形状及位置无关，则称E为几何概型。

几何概率的基本性质：非负性、规范性、有限可加性、完全可加性。

概率——设试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个事件A 都有一个实数P(A)与之对应，且符合下面的三条公理，那么称P(A)为事件A的概率。

概率的三条公理：
公理1(非负性)：对任意事件A，有0≤P𝐴≤1；
公理2(规范性)：对必然事件Ω，有P(Ω) = 1；
公理3(可列可加性)：若可列无穷个事件A1,A2,….,Ai,….互不相容

概率的性质：

性质1：不可能事件的概率为零，即𝑃(∅) = 0
性质2（有限可加性）：若事件A1, A2, … , An是两两互不相容的，即𝐴𝑖𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗，则