图：最小生成树

一、最小生成树

1.1 生成树的定义

      一个连通图的生成树是⼀个极小的连通子图，它包含图中全部的n个顶点，但只有构成⼀棵树的n-1条边

连通图和它相对应的⽣成树，可以⽤于解决实际生活中的问题：假设A、B、C 和 D 为 4 座城市，

为了⽅便⽣产⽣活，要为这 4 座城市建⽴通信。对于 4 个城市来讲，本着节约经费的原则，只需要建⽴3 个通信线路即可，就如图(b)中的任意⼀种⽅式。

在具体选择采用图(b)中哪⼀种⽅式时，需要综合考虑城市之间间隔的距离，建设通信线路的难度等各种因素，将这些因素综合起来⽤⼀个数值表示，当作这条线路的权值。

综合所看，选择权值总和为7的两种⽅案最节约经费 

1.2生成树的属性

⼀个连通图可以有多个⽣成树；

⼀个连通图的所有生成树都包含相同的顶点个数和边数；

生成树当中不存在环；

移除生成树中的任意⼀条边都会导致图的不连通， 生成树的边最少特性；

在⽣成树中添加⼀条边会构成环。 对于包含n个顶点的连通图，⽣成树包含n个顶点和n-1条边；

对于包含n个顶点的无向完全图最多包含n^(n-2)颗生成树。

1.3最小生成树

所谓⼀个 带权图 的最小生成树，就是原图中边的权值最小的生成树。

最小生成树的算法思想就是从顶点集或边集的角度来进行贪婪化。

二、Kruskal算法

代码：

#ifndef KRUSKAL_H
#define KRUSKAL_H
#include "../base.h"
#include "../01.MatrixGraph/matrixGraph.h"
/* Kruskal算法
 * 从边的角度求图的最小生成树，更适合求边稀疏的图
 * 算法思路：
 * a. 将所有的边按照权值的大小进行升序排序，然后从小到大一一判断，判断条件：
 * 	1. 如果这个边不会与之前选择的所有边组成回路，就可以作为最小生成树的一部分；
 * 	2. 放置，舍去
 * b. 循环a，直到具有n个顶点的连通图筛选出n-1条边为止
 * 引入一个数据结构，边集数组，保存边和节点的关系
 * 简化版：从边集数组里，找最小的边，判断2个顶点会不会构成一个环，如果不够，加入结果
 * */

// 使用邻接矩阵表示了无向图，从邻接矩阵中初始化边集数组
int initEdgeSet(const MGraph *graph, EdgeSet *edges);
// 排序边集数组
void sortEdgeSet(EdgeSet *edges, int num);
// Kruskal算法
int KruskalMGraph(const MGraph *graph, const EdgeSet *edges, int num, EdgeSet *result);
#endif

#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include "Kruskal.h"

/* 邻接矩阵无向图，只需要上三角数据即可 */
//把邻接矩阵变成边集数组，边集数组就是把边放进一个数组
int initEdgeSet(const MGraph *graph, EdgeSet *edges) {
	int k = 0;
	for (int i = 0; i < graph->nodeNum; ++i) {			// 遍历每个节点
		for (int j = i + 1; j < graph->nodeNum; ++j) {	// 遍历每个节点，所有的边，i+1，遍历上三角(每一行从对角线开始遍历)
            //ij的边存在，则放入边集数组中
			if (graph->edges[i][j] > 0) {
				edges[k].begin = i;
				edges[k].end = j;
				edges[k].weight = graph->edges[i][j];
				k++;
			}
		}
	}
	return k;
}

/* 按照边的权值从小到大进行排序
 * 冒泡方法，第i个元素和后面元素比较，如果后面的权值小，交换
 * 通过一次遍历，当前的i就是最小值
 * */
void sortEdgeSet(EdgeSet *edges, int num) {
	EdgeSet tmp;
	for (int i = 0; i < num; ++i) {
		for (int j = i + 1; j < num; ++j) {
            //j是i的下一个边，如果j的权值小于i,则i与j交换位置。
			if (edges[j].weight < edges[i].weight) {
                //两个空间的交换
				memcpy(&tmp, &edges[i], sizeof(EdgeSet));
				memcpy(&edges[i], &edges[j], sizeof(EdgeSet));
				memcpy(&edges[j], &tmp, sizeof(EdgeSet));
			}
		}
	}
}


// 从并查集中，找a节点的根节点
static int getRoot(const int *uSet, int a) {
	while (a != uSet[a]) {
		a = uSet[a];
	}
	return a;
}

//Kruskal算法
int KruskalMGraph(const MGraph *graph, const EdgeSet *edges, int num, EdgeSet *result) {
	int *uSet;
	int a;
	int b;
	int count = 0;
	int sum = 0;
	// 1. 初始化并查集，每一个节点的编号就是自己
	uSet = (int *) malloc(sizeof(int ) *graph->nodeNum);
	for (int i = 0; i < graph->nodeNum; ++i) {
		uSet[i] = i;
	}
	// 2. 从已经排序好的边集中，找到最小的边（顺序找），当这个边加入后，不构成闭环，就可以加入结果
	for (int i = 0; (count < (graph->nodeNum - 1)) && i < num; ++i) {
		a = getRoot(uSet, edges[i].begin);
		b = getRoot(uSet, edges[i].end);
		if (a != b) {				// 不构成闭环
			uSet[a] = b;            //b加入a的并查集，且b为a的老爸
			result[count].begin = edges[i].begin;
			result[count].end = edges[i].end;
			result[count].weight = edges[i].weight;
			count++;
			sum += edges[i].weight;
		}
	}
	free(uSet);//释放并查集
	return sum;
}

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include "Kruskal.h"


static void setupMGraph(MGraph *graph) {
	char *names[] = {"A", "B", "C", "D",
					 "E", "F", "G"};
//初始化：图，顶点个数，names,无向图0，边数为0
	initMGraph(graph, sizeof(names)/ sizeof(names[0]), names, 0, 0);
//添加边
	addMGraphEdge(graph, 0, 1, 12);//边AB，权值12
	addMGraphEdge(graph, 0, 5, 16);
	addMGraphEdge(graph, 0, 6, 14);
	addMGraphEdge(graph, 1, 2, 10);
	addMGraphEdge(graph, 1, 5, 7);
	addMGraphEdge(graph, 2, 3, 3);
	addMGraphEdge(graph, 2, 4, 5);
	addMGraphEdge(graph, 2, 5, 6);
	addMGraphEdge(graph, 3, 4, 4);
	addMGraphEdge(graph, 4, 5, 2);
	addMGraphEdge(graph, 4, 6, 8);
	addMGraphEdge(graph, 5, 6, 9);
}

int main() {
	MGraph graph;//邻接矩阵
	EdgeSet *edges;

	setupMGraph(&graph);
    //申请边
	edges = (EdgeSet *) malloc(sizeof(EdgeSet) * graph.edgeNum);

	int num = initEdgeSet(&graph, edges);//初始化边集数组
	printf("edgeSet num: %d\n", num);
	sortEdgeSet(edges, num);

    //结果(n-1条边)
	EdgeSet *result = (EdgeSet *) malloc(sizeof(EdgeSet) * (graph.nodeNum - 1));

    //总权值
	int sumW = KruskalMGraph(&graph, edges, num, result);
	printf("Kruskal sum of weight: %d\n", sumW);
    //打印输出边的情况
    //点---权值---点(A---12---B)
	for (int i = 0; i < graph.nodeNum - 1; ++i) {
		printf("edge %d: [%s] --- <%d> --- [%s]\n", i + 1,
			   graph.vex[result[i].begin].show, result[i].weight, graph.vex[result[i].end].show);
	}
	free(edges);
	free(result);
	return 0;
}

三、Prim算法