异或运算妙用

在一组整数中，若有两个数字各自出现奇数次，其他数字均出现偶数次，如何高效地找出这两个数字？

一种常用且高效的方法是利用异或运算。

异或运算的性质：

1. 自反性：a ^ a = 0，即相同的数字异或结果为0。
2. 交换律和结合律：a ^ b = b ^ a，a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c，即运算顺序和位置可以任意调整。
3. 与0的运算：a ^ 0 = a，即任何数字与0异或结果为其本身。

基于这些性质，我们可以设计如下算法：

算法步骤：

1. 对所有数字进行异或运算：遍历数组中的每个数字，将其与一个累积变量（初始值为0）进行异或操作。由于相同的数字出现偶数次，其异或结果为0，最终累积变量的值将是两个只出现奇数次的数字的异或结果。

2. 从异或结果中提取信息：由于异或结果不为0，说明至少有一位二进制位为1。我们可以通过以下方式获取最右侧的1所在的位：

   int rightmostOne = xorResult & (-xorResult);

   这里，-xorResult 是 xorResult 的二进制补码，xorResult & (-xorResult) 的结果是 xorResult 中最右侧的1所在的位。

3. 根据该位将数组分为两组：遍历数组，将每个数字根据其在该位上的值（0或1）分配到两组中。

4. 分别对两组进行异或运算：对每组中的数字分别进行异或操作，最终得到的结果即为两个只出现奇数次的数字。

Java实现示例：

public class FindOddNumbers {
    public static void findOddNumbers(int[] arr) {
        int xorResult = 0;
        // 第一次遍历：对所有数字进行异或操作
        for (int num : arr) {
            xorResult ^= num;
        }

        // 获取 xorResult 最右侧的 1
        int rightmostOne = xorResult & (-xorResult);

        int num1 = 0, num2 = 0;
        // 第二次遍历：根据 rightmostOne 将数组分为两组，分别对每组进行异或操作
        for (int num : arr) {
            if ((num & rightmostOne) != 0) {
                num1 ^= num;
            } else {
                num2 ^= num;
            }
        }

        System.out.println("出现奇数次的两个数字分别是: " + num1 + " 和 " + num2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 8};
        findOddNumbers(arr);
    }
}

输出：
出现奇数次的两个数字分别是: 4 和 7

时间和空间复杂度：

• 时间复杂度：O(n)，其中n是数组的长度。我们只需要遍历数组两次。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数空间。

通过上述方法，我们可以在O(n)的时间复杂度和O(1)的空间复杂度下，找出数组中两个只出现奇数次的数字。