每日一题-蓝桥杯(卡牌)

卡牌

问题描述

这天, 小明在整理他的卡牌。

他一共有$n$种卡牌,第i种卡牌上印有正整数数$i(i\in [1,n]),$且第i种卡牌现有$a$张。

而如果有$n$张卡牌,其中每种卡牌各一张,那么这$n$张卡牌可以被称为一套牌。小明为了凑出尽可能多套牌,拿出了$m$张空白牌,他可以在上面写上数$i,$将其当做第i种牌来凑出套牌。然而小明觉得手写的牌不太美观,决定第$i$种牌最多手写$b$张。

请问小明最多能凑出多少套牌?

输入格式

输入共3行,第一行为两个正整数$n,m。$
第二行为$n$个正整数$a_1,a_2,...,a_n。$
第三行为$n$个正整数$b_1,b_2,...,b_n。$

输出格式

一行,一个整数表示答案。

样例输入

4 5
1 2 3 4
5 5 5 5

样例输出

3

样例说明

这 5 张空白牌中, 拿 2 张写 1 , 拿 1 张写 2 , 这样每种牌的牌数就变为了 3,3,3,4 可以凑出 3 套牌, 剩下 2 张空白牌不能再帮助小明凑出一套。

评测用例规模与约定

对于$30$%的数据,保证$n\le 2000;$
对于$100$%的数据,保证$n\le 2\times 10^5;a_i,b_i\le 2n;m\le n^2。$

运行限制

最大运行时间:1s
最大运行内存:512M

---

思路分析：

根据题意分析我们可以得出当前题目是让我们求出最大值。
由数据范围为 $2\times 10^5$可知，暴力是不可行的，暴力$n^2$，直接会超时。
求最大值，我们可以想到使用二分来做，二分时间复杂度$O(lo{g}_{2}N)$，不会超时。

二分：

1. mid = 当前最多的套牌数量。
2. check函数：
   根据题意我们可以发现
   mid - 当前牌的数量 = 当前牌需要手写的卡牌数 = 当前牌需要的空白牌数
   ①枚举每张牌，如果当前牌的数量大于 $mid$，那么就跳过这张牌。
   ②如果 $mid$ $-$ 当前牌的数量 $>$ 当前牌可以手写的卡牌数，那么可以发现mid 一定大了，我们就把 $r=mid-1。$
   ③如果当前空白牌的数量 $<$ $mid$ $-$ 当前牌的数量，那么可以发现mid还是大了，我们就把 $r=mid-1。$
   ④否则就把 $l=mid$ 直到 $l=r$

代码：

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 2e5 + 10;

typedef long long LL;

LL n, m;
struct c
{
  LL a, b;
} p[N];

bool check(int mid)
{
  LL ans = m; // 空白牌
  for (int i = 1; i <= n; i ++ )
  {
    if(p[i].a > mid) continue; // 如果当前卡牌的张数 > 目前的最多卡牌数，就不用考虑。
    if(mid - p[i].a > p[i].b) return 0; 
    // 目前最多的卡牌数 - 当前卡牌的张数 = 达到目前最多卡牌数所需要的手写牌的数量。
    // 如果当前卡牌所能手写的牌数 < 达到目前最多卡牌数所需要的手写牌的数量，那么就可以得出：目前最多卡牌数大了。
    ans -= mid - p[i].a; // 如果空白牌 < 达到目前最多卡牌数所需要的手写牌的数量，那么就可以得出：空白牌数量少了，目前最多卡牌数大了。
    if(ans < 0) return 0;
  }
  return 1;
}

int main()
{
  // 请在此输入您的代码
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> p[i].a;
  for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> p[i].b;
  
  int l = 0, r = 2 * n;
  while (l < r)
  {
    int mid = l + r + 1 >> 1;
    if(check(mid)) l = mid;
    else r = mid - 1;
  }
  cout << r << endl;
  return 0;
}