答：显然不能！除非导数在这一点连续。
回顾定义：
函数的单调性的判定：设函数
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上连续
,
在
(
a
,
b
)
内可导
,
如果在区间上有
f
′
(
x
)
⩾
0
,
则
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内单调不减；如果恒有
f
′
(
x
)
⩽
0
,
则
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内单调不增
.
函数的单调性的判定：设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续,在 (a, b) 内可导,如果在区间上有 f^{\prime}(x) \geqslant 0 ,则 f(x) 在 (a, b) 内单调不减；如果恒有 f^{\prime}(x) \leqslant 0 , 则 f(x) 在 (a, b) 内单调不增.
函数的单调性的判定：设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,如果在区间上有f′(x)⩾0,则f(x)在(a,b)内单调不减；如果恒有f′(x)⩽0,则f(x)在(a,b)内单调不增.
由此可见，利用一阶导数判断函数的单调性，需要已知导数在某区间的正负，而不是某一点导数的正负.而现在你想用一点导数的符号去推这一点附近函数的单调性，这不是胡闹嘛。
如果加强条件：函数 f(x) 在 x 0 x_{0} x0 处导函数连续，且 f ′ ( x 0 ) > 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0 f′(x0)>0 ，那就可以利用一点导数的正负推出这一点附近函数的单调性.
证明如下：由于函数 f ( x ) 在 x 0 处导函数连续 , 故有 lim x → x 0 f ′ ( x ) = f ′ ( x o ) > 0 由保号性可得： ∃ δ > 0 , 当 ∣ x − x 0 ∣ < δ 时， f ′ ( x ) > 0 ，即就是函数 f ( x ) 在 ( x 0 − δ , x 0 + δ ) 单调上升 . 证明如下：由于函数 f(x) 在 x_{0} 处导函数连续,故有\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)=f^{\prime}\left(x_{o}\right)>0由保号性可得： \exists \delta>0 ,当 \left|x-x_{0}\right|<\delta 时， f^{\prime}(x)>0 ，即就是函数 f(x) 在 \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right) 单调上升. 证明如下：由于函数f(x)在x0处导函数连续,故有x→x0limf′(x)=f′(xo)>0由保号性可得：∃δ>0,当∣x−x0∣<δ时，f′(x)>0，即就是函数f(x)在(x0−δ,x0+δ)单调上升.
从实践中也可以举出反例：如果举例时将 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f′(x) 在 x = x 0 x=x_{0} x=x0 处取到连续，那你放心，你肯定举不出反例.反例必须让 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f′(x) 在 x = x 0 x=x_{0} x=x0 处间断，我们又清楚 f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f′(x) 的间断点只能是振荡间断点.所以可以取 f ( x ) = { x + 2 x 2 sin 1 x , x ≠ 0 0 , x = 0 f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+2 x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right. f(x)={x+2x2sinx1,0,x=0x=0满足 f ′ ( 0 ) = lim x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim x → 0 x + 2 x 2 sin 1 x x = 1 + 0 = 1 > 0 \quad f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+2 x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=1+0=1>0 f′(0)=limx→0x−0f(x)−f(0)=limx→0xx+2x2sinx1=1+0=1>0但是函数在 x=0 的所有邻域都不单调. f ′ ( x ) = 1 + 4 x sin 1 x − 2 cos 1 x ( x ≠ 0 ) 令 x k = 1 2 k π + π 2 ( k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ ) , \begin{array}{l}\quad f^{\prime}(x)=1+4 x \sin \frac{1}{x}-2 \cos \frac{1}{x}(x \neq 0) \\\text { 令 } \quad x_{k}=\frac{1}{2 k \pi+\frac{\pi}{2}}(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots),\end{array} f′(x)=1+4xsinx1−2cosx1(x=0) 令 xk=2kπ+2π1(k=0,±1,±2,⋯),发现 f ′ ( x k ) = 1 + 4 2 k π + π 2 > 0 令 y k = 1 2 k π ( k = ± 1 , ± 2 , ⋯ ) ， f^{\prime}\left(x_{k}\right)=1+\frac{4}{2 k \pi+\frac{\pi}{2}}>0 \text { 令 } y_{k}=\frac{1}{2 k \pi}(k= \pm 1, \pm 2, \cdots) \text { ， } f′(xk)=1+2kπ+2π4>0 令 yk=2kπ1(k=±1,±2,⋯) ， 发现 f ′ ( y k ) = − 1 < 0 f^{\prime}\left(y_{k}\right)=-1<0 f′(yk)=−1<0 ，即在 x=0 的任意邻域内， f ′ ( x ) f^{\prime}(x) f′(x) 的取值既有大于零的点又有小于零的点,那怎么能确定单调性呢.
有同学可能会想到如果
f
(
x
)
>
f
(
x
0
)
,
x
∈
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
f(x)>f\left(x_{0}\right), x_{\in}\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)
f(x)>f(x0),x∈(x0,x0+δ) ，不就是 f(x) 在区间
(
x
0
,
x
0
+
δ
)
\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)
(x0,x0+δ) 上单调递增吗?你这样想，是很正常的，以人贫瘠的想象力确实难以想象到在
x
0
x_{0}
x0 的右邻域上
f
(
x
)
>
f
(
x
0
)
f(x)>f\left(x_{0}\right)
f(x)>f(x0) ，但是 f(x) 却不单调递增的情况，不过我告诉你，这样的变态函数确实存在，比如上面给你举的那个例子，当
x
∈
(
0
,
δ
)
x_{\in}(0, \delta)
x∈(0,δ) 时， f(x) 确实大于 f(0)=0 ， 但是不是那种递增的情形，而是振荡的情形，其图像如图所示:
记住了，以后见到自己想象不到的情况，多往振荡的方向去考虑，很多反例都出自这里
2. 函数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 在 x = 0 x = 0 x=0 附近不连续，即便它在 x = 0 x = 0 x=0 处的极限等于函数值。为什么？函数在某点连续的充要条件不是极限值等于函数值吗？
需要强调的是，函数在某点的连续性与函数在该点附近的连续性是不同的概念。
- 函数在某点的连续性：仅涉及函数在该点本身的行为，以及当自变量趋近于该点时的行为。
- 函数在某点附近的连续性：意味着函数在该点的某个邻域内的所有点都连续。
- 一个函数可以在 x = a x=a x=a处连续，但在 x = a x=a x=a附近不连续。这意味着，虽然函数在 x = a x=a x=a点满足连续性的条件，但在任何包含 x = a x=a x=a的区间内，函数可能存在不连续点。
通过上述分析，我们可以得出结论：
- 函数在某点的连续性仅取决于该点本身的行为，即函数值和极限值在该点是否相等。
- 函数在某点附近的连续性需要考虑函数在该点附近的所有点的行为，即在一个邻域内的连续性。
- 由 f ′ ( x 0 ) > 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0 f′(x0)>0 能否得到函数 f(x) 在 x 0 x_{0} x0 的某邻域内单调递增? 不能
- 由 f ′ ( x 0 ) > 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0 f′(x0)>0 ，且在 x 0 x_{0} x0处连续，能否得到函数 f(x) 在 x 0 x_{0} x0 的某邻域内单调递增? 能，由保号性可知， f ′ ( x 0 ) f^{\prime}\left(x_{0}\right) f′(x0) 在 x 0 x_{0} x0 的某邻域内大于0，虽然 f ′ ( x 0 ) f^{\prime}\left(x_{0}\right) f′(x0) 在 x 0 x_{0} x0 的某邻域内不连续.
- 由 f ′ ( x 0 ) > 0 f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0 f′(x0)>0 ，且在 x 0 x_{0} x0 附近连续，能否得到函数 f(x) 在 x 0 x_{0} x0 的某邻域内单调递增? 能
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