最小生成树算法

最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是图论中的一个重要概念，常用于解决网络设计、聚类分析等问题。最小生成树算法用于在带权无向图中找到一棵包含所有顶点的树，且树中所有边的权重之和最小。常见的最小生成树算法包括 Kruskal算法 和 Prim算法。

1. Kruskal算法

Kruskal算法是一种基于贪心策略的算法，通过逐步选择权重最小的边来构建最小生成树。

算法步骤：

1. 初始化：将图中的所有边按权重从小到大排序。

2. 选择边：从权重最小的边开始，依次选择边。如果该边的两个顶点不在同一个集合中（即不形成环），则将该边加入生成树中，并将两个顶点合并到同一个集合中。

3. 终止条件：重复上述过程，直到生成树中包含 V−1V−1 条边（VV 是顶点数）。

实现细节：

• 使用 并查集（Disjoint Set Union, DSU） 数据结构来管理顶点的集合，判断是否形成环。

• 时间复杂度：O(Elog⁡E)O(ElogE)，其中 EE 是边的数量。

伪代码：

def kruskal(graph):
    # 初始化并查集
    parent = [i for i in range(V)]
    result = []  # 存储最小生成树的边
    edges = sorted(graph.edges, key=lambda x: x.weight)  # 按权重排序
    
    for edge in edges:
        u_root = find(parent, edge.u)
        v_root = find(parent, edge.v)
        if u_root != v_root:  # 不形成环
            result.append(edge)
            union(parent, u_root, v_root)
    
    return result

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例题：挖沟

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
#include<math.h>