算法刷题总结—并查集

并查集主要维护以下两个操作：

①将两个集和合并

②询问两个元素是否在一个集和当中

基本原理：每个集和用一颗树来表示，树的根节点的编号就是整个集和的编号。每个结点存储它的父结点信息，p[x]表示x的父结点

问题1：如何判断树根    if(p[x] == x)

问题2：如何求x的集和编号   while(p[x] != x)  x = p[x]

问题3：如何合并两个集和   px是x的集和编号，py是y的集和编号   p[x] = y

并查集的优化策略：路径压缩（让所有结点直接指向根结点，递归过程中优化即可）

下面看两道例题

问题1 合并集和

问题描述

一共有 n 个数，编号是 1∼n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

1. M a b，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
2. Q a b，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；

输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 M a b 或 Q a b 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q a b，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤10^5

输入样例

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例

Yes
No
Yes

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int p[N];  //p[x]存储的是x的父亲结点

int find(int x){    //返回x的祖宗结点（所属的集和） + 路径压缩
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) p[i] = i;   //初始每个结点为一个集和, 父结点指向自己
    while(m --){
        char op;
        int a, b;
        cin >> op >> a >> b;
        if(op == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else{
            if(find(a) == find(b)) cout << "Yes" << endl;
            else cout << "No" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

说明

p[x]存储的是x的父节点信息

并查集代码的核心是find函数，find函数返回x的祖宗节点，并且在递归的过程中实现了路径压缩，因此并查集可在近乎O（1）的时间内完成合并、查询操作

问题2 连通块中结点的数量

问题描述 

给定一个包含 n 个点（编号为 1∼n）的无向图，初始时图中没有边。

现在要进行 m 个操作，操作共有三种：

1. C a b，在点 a 和点 b 之间连一条边，a 和 b 可能相等；
2. Q1 a b，询问点 a 和点 b 是否在同一个连通块中，a 和 b 可能相等；
3. Q2 a，询问点 a 所在连通块中点的数量； 

 输入格式

第一行输入整数 n 和 m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 C a b，Q1 a b 或 Q2 a 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q1 a b，如果 a 和 b 在同一个连通块中，则输出 Yes，否则输出 No。

对于每个询问指令 Q2 a，输出一个整数表示点 a 所在连通块中点的数量

每个结果占一行。

数据范围

1≤n,m≤10^5

输入样例

5 5
C 1 2
Q1 1 2
Q2 1
C 2 5
Q2 5

输出样例

Yes
2
3

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int p[N], cnt[N];  //只有根节点的size才有意义

int find(int x){
    if(p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        p[i] = i;
        cnt[i] = 1;
    }
    while(m --){
        string op;
        int a, b;
        cin >> op;
        if(op == "C"){
            cin >> a >> b;
            if(find(a) != find(b)){
                //下面两句的顺序不能调换
                cnt[find(b)] += cnt[find(a)];
                p[find(a)] = find(b);
            }
        }
        else if(op == "Q1"){
            cin >> a >> b;
            if(find(a) == find(b)) cout << "Yes" << endl;
            else cout << "No" << endl;
        }
        else{
            cin >> a;
            cout << cnt[find(a)] << endl;
        }
    }
    return 0;
}

说明

本题中并查集维护了一个额外的信息，即某个集和中的连通块数量

引入了一个额外的cnt数组，初始时每个结点自身作为一个集和，cnt数组值均为1，合并时需要注意操作的顺序，先更新cnt数组再更新父结点信息，且顺序不能颠倒，避免更改父结点后结点指针发生变化