零钱兑换 II

题目描述

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

与“零钱兑换问题”类似，读者可以参考零钱兑换问题-优快云博客

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

提示：

• 1 <= coins.length <= 300
• 1 <= coins[i] <= 5000
• coins 中的所有值 互不相同
• 0 <= amount <= 5000

1. 思路 

这道题中，给定总金额 amount 和数组 coins，要求计算金额之和等于 amount 的硬币组合数。其中，coins 的每个元素可以选取多次，且不考虑选取元素的顺序，因此这道题需要计算的是选取硬币的组合数。

可以通过动态规划的方法计算可能的组合数。用 dp[x] 表示金额之和等于 x 的硬币组合数，目标是求 dp[amount]。

动态规划的边界是 dp[0]=1。只有当不选取任何硬币时，金额之和才为 0，因此只有 1 种硬币组合。

对于面额为 coin 的硬币，当 coin ≤ i ≤ amount 时，如果存在一种硬币组合的金额之和等于 i−coin，则在该硬币组合中增加一个面额为 coin 的硬币，即可得到一种金额之和等于 i 的硬币组合。因此需要遍历 coins，对于其中的每一种面额的硬币，更新数组 dp 中的每个大于或等于该面额的元素的值。

由此可以得到动态规划的做法：

• 初始化 dp[0]=1；
• 遍历 coins，对于其中的每个元素 coin，进行如下操作：遍历 i 从 coin 到 amount，将 dp[i−coin] 的值加到 dp[i]。
• 最终得到 dp[amount] 的值即为答案。

上述做法不会重复计算不同的排列。因为外层循环是遍历数组 coins 的值，内层循环是遍历不同的金额之和，在计算 dp[i] 的值时，可以确保金额之和等于 i 的硬币面额的顺序，由于顺序确定，因此不会重复计算不同的排列。

2. 代码

    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp=new int[amount+1];
        dp[0]=1;
        for(int coin:coins){
            for(int i=coin;i<=amount;i++){
                if(i-coin>=0)dp[i]+=dp[i-coin];
            }
        }
        return dp[amount];
    }

3. 参考题目

. - 力扣（LeetCode）