二分+前缀和——森林的最大美丽值

森林的最大美丽值(二分+差分数组)

题目分析

求最小值的最大值，联想到二分。

第一阶段二段性分析

对于所有树的高度都可以大于等于mid，那么我们可以确定高度小于mid的值一定也可以，但是此时我需要找的是最大的高度，那么mid一定比小于mid的值更大，所以小于mid的值我就不用管了，也就是我可以确定我能够舍弃掉mid左边的值。我还想要确定比mid更大的边长是否也满足条件，所以我要在mid的右边继续二分。

if (check(mid)) {l = mid;} //因为mid是符合条件的，所以我要留着它，而不是l=mid+1

对于所有树的高度不能满足都大于等于mid，那么我们可以确定高度大于mid的值一定也不满足，所以大于等于mid的值我就不用管了，也就是我可以确定我能够舍弃掉mid右边的值。我还想要寻找比mid更小的高度是否能满足条件，所以我要在mid的左边继续二分。

else { r = mid - 1; }//因为mid是不符合条件的，所以我不要留着它，而不是r=mid
//主要这里出现了减法，那么求mid那么应该是（l+r+1）/2

综上该题满足二段性，可以用二分，二分的板子就不说了，接下来说一下check函数如何写。

第二阶段写check函数

check(u)要实现的作用是检查能否在m天内让所有树的高度都大于等于u。

依次遍历每一棵树，如果当前树的高度a[i]小于mid，那么需要给他增高，增高耗费的天数是(mid-a[i])。但是我们要注意一旦选择增高不是只给一颗树增高，而是给一个区间里的树进行增高，那么这就涉及到区间修改，我们可以使用差分数组。现在重新考虑遍历每一棵树，当前树的实际高度是a[i]+sum[i]，这里的sum[i]是差分数组的前缀和，如果a[i]+sum[i]<x，那么我们要给这棵树增高，耗费的天数和增加的高度是x-a[i]-sum[i]，对于差分数组的变化是d[i]+=x-a[i]-sum[i]，d[i+k]-=x-a[i]-sum[i]，注意这里的i+k可能会有下标越界问题，所以要改成d[min(i+k,n+1)]-=x-a[i]-sum[i]，如果耗费的总天数超过了m，即cnt<0，就返回false，否则返回true。注意这里更改了d[i]后，对应的sum[i]也要随之更新，否则这里d[i]的改变没有传递下去。

关于sum和d数组，用一个实例说一下，假设一开始的值是2 3 4 2 2，每次都会让连续的4个树增高，x是3，那么开始遍历a[1]=2

sum[1] =sum[0]+d[1]=0;

if(a[1]+0<3) 所以d[1]+=3-2-0=1;

d[min(1+4,6)]+=0+2-3=-1;—>d[5]=-1

sum[1]+=3-2-0=1;

a[2]=3

sum[2] =sum[1]+d[2]=1;

a[3]=4

sum[3] =sum[2]+d[3]=1;

a[4]=2

sum[4] =sum[3]+d[4]=1;

if(a[4]+1<3) 不成立

a[5]=2

sum[5] =sum[4]+d[5]=0;

if(a[5]+0<3) 成立

public static boolean check(int x) {
    int d[] = new int[100010];
    int sum[] = new int[100010];
    int cnt = m;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        sum[i] =sum[i-1]+d[i];
        if(a[i]+sum[i]<x) {
            cnt-=x-a[i]-sum[i];
            d[i]+=x-a[i]-sum[i];
            d[Math.min(i+k,n+1)]+=sum[i]+a[i]-x;
            sum[i]+=x-a[i]-sum[i];
            if(cnt<0) return false;
        }
    }
    return true;
}

第三步二分范围确定

那么这里的高度的最小值是1，最大值就是树的最大高度，原始的最大高度是1e9，假设只有一棵树，每一天都在长高，最多长1e5天，因此树的最大高度为1e9+1e5。

题目代码

import java.util.Scanner;
public class Main {
	static int n,m,k;
	static int a[] = new int[100010];
    public static boolean check(int x) {
    	int d[] = new int[100010];
        int sum[] = new int[100010];
        int cnt = m;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            sum[i] =sum[i-1]+d[i];
            if(a[i]+sum[i]<x) {
                cnt-=x-a[i]-sum[i];
                d[i]+=x-a[i]-sum[i];
                d[Math.min(i+k,n+1)]-=x-a[i]-sum[i];
                sum[i]+=x-a[i]-sum[i];
                if(cnt<0) return false;
            }
        }
        return true;
      }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        n=scan.nextInt();
        m=scan.nextInt();
        k=scan.nextInt();
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=scan.nextInt();
        
        int l=1,r=1000000000+100000;
        while(l<r) {
            int mid=(l+r+1)/2;
            if(check(mid)) l=mid;
            else r=mid-1;
        }
        System.out.print(l);
    }
}

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m, k;
int a[N];
int d[N], sum[N];

bool check(int x) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) d[i]=0,sum[i]=0;
    int cnt = m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        sum[i] = sum[i - 1] + d[i];
        if (a[i] + sum[i] < x) {
            cnt -= x - a[i] - sum[i];
            d[i] += x - a[i] - sum[i];
            if (i + k <= n) d[i + k] -= x - a[i] - sum[i];
            sum[i] += x - a[i] - sum[i];
            if (cnt < 0) return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i];

    int l = 1, r = 1000000000+100000;
    while (l < r) {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    cout << l << endl;

    return 0;
}

def check(x):
    d = [0] * (n + 1)
    sum = [0] * (n + 1)
    cnt = m
    for i in range(1, n + 1):
        sum[i] = sum[i - 1] + d[i]
        if a[i] + sum[i] < x:
            cnt -= x - a[i] - sum[i]
            d[i] += x - a[i] - sum[i]
            if i + k <= n:
                d[i + k] -= x - a[i] - sum[i]
            sum[i] += x - a[i] - sum[i]
            if cnt < 0:
                return False
    return True

n, m, k = map(int, input().split())
a = [0] + list(map(int, input().split()))  # Using 1-based indexing

l, r = 1, 1000000000+100000#+1e5
while l < r:
    mid = (l + r + 1) // 2
    if check(mid):
        l = mid
    else:
        r = mid - 1

print(l)