C++ 归并排序

一.算法介绍

        归并排序是一种基于分治思想，时间复杂度为O(nlgn)，空间复杂度为O(n)的排序算法

二.算法思路

       首先我们先来看看一个子问题：怎么把两个有序的数组合并为一个有序的数组。答案很简单，我们可以先把两个数组的数据连为一个数组，再用一个排序算法给它排序。那用什么算法呢，冒泡？显然时间复杂度O(n^2)不好。我们可以换种思路在O(n)的时间复杂度内排好序。为什么呢？因为两个数组都是有序的。我们可以同时遍历两个数组，取出元素较小的那个放进目标数组，再将被取出元素的数组下标加一。

const int N=505;

int a[N],b[N],c[2*N];

//n为有序数组a的长度，m为有序数组b的长度，现在将a,b数组合并到c中 
void merge(int n,int m){
	int i,j,k=0;
	for(i=0,j=0;i<n&&j<m;){
		if(a[i]<b[j]){
			c[k]=a[i];
			i++;
		} 
		else{
			c[k]=b[j];
			j++;
		}
		k++;
	}
//	当a或者b中某一个数组遍历完啦，另外一个数组直接复制到c后面
	if(i<n){
		while(i<n){
			c[k++]=a[i];
			i++;
		} 
	}
	if(j<m){
		while(j<m){
			c[k++]=b[j];
			j++;
		} 
	} 
} 

可以看出，这样我们就实现O(n)时间复杂度合并两个有序数组啦。

那么好有了这一个函数，又怎么样来实现O(nlgn)的归并排序呢。这里我们就用分治来思考，我们可以在O(n)时间复杂度将两个有序数组合并为一个有序数组，那我们只要能将一个乱序数组（n个元素）变成两个有序数组（n/2个元素）就好啦。然而，这两个有序数组，在初始也是乱序的，我们只要能将两个乱序数组变成四个有序数组（n/4）就好啦，同理，四个变八个（n/8），八个变十六个，...............直到最后变为n个有序数组（1个元素）。一个元素，它本身就是有序的。

好，我们再来看看每一层的时间复杂度，第一层，两个有序数组合并得到一个有序。这里时间复杂度是O(n/2)+O(n/2) =O(n)。第二层：四个有序数组合并得到两个有序,O(n/4)+O(n/4) =O(n/2),O(n/4)+O(n/4) =O(n/2).最后还是O(n/2)+O(n/2) =O(n)，第三层第四层，都一样为O(n)

好，得到了每一层的时间复杂度为O(n),我们再来看看有多少层，从上面的分析可以看出，我们每一层要分割数组元素，直到最后分割为一个数组一个元素停止，所以我们要分割出n个数组。1->2,2->4,4->8,8->16,......我们可以看出要分出n个数组，只需要lgn次。一共就需要有lgn层。这也就是为什么归并排序的时间复杂度为O(nlgn)

好，下面来看它的实现。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=505;

int a[N],b[N];//a为原数组，b为辅助数组
void merge(int l,int mid,int r){
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    for(;i<=mid&&j<=r;){
        if(a[i]<a[j]){
            b[k]=a[i];
            i++;
        }
        else{
            b[k]=a[j];
            j++;
        }
        k++;
    }
//	当左边部分或者右边部分遍历完啦，另外一个部分直接复杂到c后面
    while(i<=mid){
        b[k++]=a[i];
        i++;
    }
    while(j<=r){
        b[k++]=a[j];
        j++;
    }

//	将对应的辅助数组信息写回原数组
    for(i=l;i<=r;i++){
        a[i]=b[i];
    }
}

void mergeSort(int l,int r){
    int mid = (l+r)/2;
    //作为划分数组的中间点
    if(r-l>=1){
        mergeSort(l,mid);
        mergeSort(mid+1,r);
        merge(l,mid,r);
    }
}

void solve(){
//  "输入数组的长度:";
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        cin>>a[i];
    }
//  左右都是闭区间实现
    mergeSort(0,n-1);
    for(int i=0;i<n;i++){
        cout<<a[i]<<" ";
    }
}
signed main(){
//    ios::sync_with_stdio(0);
//    cin.tie(0);
//    cout.tie(0);
//    ofstream cout("Eout.txt");
        solve();
    return 0;
}

三.总结

        找到可递推的性质是用递归实现算法，大幅度减少时间复杂度的关键