牛客小白月赛37补题B题

B-擅长解密的小红同学

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11214/B
来源：牛客网

题目描述

小红来到了一个机关前，准备破解机关的密码门。
已知机关的密码是一串数字（‘0’~‘9’）。小红经过不懈的努力，终于破解了每个数字出现的次数。但她并不知道每个数字出现的先后次序。
于是她只能随机来尝试破解密码。不过这个机关有个特点：每当小红输入一次尝试之后，密码都会重置。不过每个数字出现的次数不变。
小红想知道自己尝试次数的期望是多少？

输入描述

输出描述

示例1

输入

0 2 0 0 0 0 0 0 0 0

输出

1

示例2

输入

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

输出

2

解题思路

期望是一个无穷级数，但是会趋于零，不难看出其实这里的期望就是这 0 到 9 的数的全排列个数。根据定理，含 k 个不同元素的多重集的全排列公式如下：

此处n1, n2, n3…即为每个不同元素的个数。由题数据范围 1e6，不难想出需要对阶乘预处理，代码如下：

void init()
{
    jc[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 1e7; i++)
    {
        jc[i] = (i * jc[i - 1]) % MOD;
    }
}

处理后分别计算分子和分母，此时需要注意除法与其他三类运算不同，求模需要对除数进行求逆元计算，将除法转化为乘法（不多赘述，逆元不懂自学）。下面给出费马小定理求乘法逆元代码：

long long quickpow(long long a, long long b) {
    if (b < 0) return 0;
    long long ret = 1;
    a %= MOD;
    while(b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % MOD;
    }
    return ret;
}
long long inv(long long a) {
    return quickpow(a, MOD - 2);
}

由此本题求解完毕，AC代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 1e7 + 5;

ll jc[N];

void init()
{
    jc[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 1e7; i++)
    {
        jc[i] = (i * jc[i - 1]) % MOD;
    }
}

//快速幂
long long quickpow(long long a, long long b) {
    if (b < 0) return 0;
    long long ret = 1;
    a %= MOD;
    while(b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % MOD;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % MOD;
    }
    return ret;
}

//求解逆元
long long inv(long long a) {
    return quickpow(a, MOD - 2);
}

int main()
{
    int sum1 = 0;
    ll sum2 = 1;
    init();//预处理阶乘
    for(int i = 0; i < 10; i++)
    {
        int a;
        cin >> a;
        sum1 += a;//计算分子
        sum2 = (sum2 * jc[a]) % MOD;//计算分母
    }
    ll ans = (jc[sum1] % MOD * inv(sum2) % MOD) % MOD;//计算答案
    cout << ans;
    return 0;
}