金融计量模型（七）：线性时间序列模型——单变量时间序列

线性时间序列模型——单变量时间序列

平稳性

平稳性是时间序列分析的基础。

严平稳

严平稳：分布是时不变的，即对所有的 $t$，任意正整数 $k$ 和任意 $k$ 个正整数 $(t_1,\cdots ,t_k)$，$(r_{t_1},\cdots ,r_{t_k})$ 的联合分布与 $(r_{t_1+t},\cdots ,r_{t_k+t})$ 的联合分布是相同的。

弱平稳

弱平稳：前两个矩是时不变的，$r_t$ 的均值与 $r_t$ 和 $r_{t-l}$ 的协方差不随时间改变，其中 $l$ 是任意整数。

1. 对所有的 $t$，$E(r_t)=\mu$，$\mu$ 为一个常数。
2. 对所有的 $t$，$Var(r_t)=E[(r_t-\mu {)}^2]={\sigma }^2$。
3. 对所有的 $t$，${\gamma }_k=cov(r_t,r_{t-k})=E[(r_t-\mu )(r_{t-k}-\mu )]$，${\gamma }_k$ 只依赖于 $k$。${\gamma }_0=Var(r_t),{\gamma }_{-l}={\gamma }_l$。

实际中，假定我们有 $T$ 个数据观测点 { r t ∣ t = 1 , ⋯   , T } \{r_t|t=1,\cdots,T\} { rt​∣t=1,⋯,T}，弱平稳性意味着数据的时间图显示 $T$ 个值在一个常数水平上下以相同的幅度波动。

自相关函数（ACF）

$$\begin{gathered} {\rho }_k=\frac{Cov(r_t,r_{t-k})}{Var(r_t)}=\frac{{\gamma }_k}{{\gamma }_0} \\ {\rho }_0=1,{\rho }_k={\rho }_{-k},k\ne 0,-1\le {\rho }_k\le 1 \end{gathered}$$

考虑一个给定的收益率样本 { r t } t = 1 T \{r_t\}^T_{t=1} { rt​}t=1T​，$\bar{r}$ 是样本均值：
$${\hat{\rho }}_k=\frac{{\sum }_{t=k+1}^T(r_t-\bar{r})(r_{t-k}-\bar{r})}{{\sum }_{t=1}^T(r_t-\bar{r}{)}^2},0\le k<T-1$$
事实上，线性时间序列模型可以用其ACF来表征。

若 { r t } \{r_t\} { rt​} 是一个独立同分布序列，满足 $E(r_t^2)<\infty$，则对任意固定的正整数 $l$，${\hat{\rho }}_l$ 渐进服从均值为0，方差为 $1/T$ 的正态分布。

若 { r t } \{r_t\} { rt​} 是一个弱平稳序列，满足 $r_t=\mu +{\sum }_{i=0}^q{\psi }_i{a}_{t-i},{\psi }_0=1$， { a j } \{a_j\} { aj​} 是均值为0的独立同分布任意变量的序列，则对 $l>q$，${\hat{\rho }}_l$ 渐近地服从均值为0、方差为 $(1+2{\sum }_{i=1}^q{\rho }_i^2)/T$ 的正态分布。

检验单个ACF

对一个给定的正整数 ，可进行检验 $H$，检验统计量为：
$$tratio=\frac{{\hat{\rho }}_l}{\sqrt{(1+2{\sum }_{i=1}^{l-1}{\rho }_i^2)/T}}$$
如果 { r t } \{r_t\} { rt​} 是一个平稳高斯序列且满足当 $j>l$ 时 ${\rho }_l=0$，则 $tratio$ 渐进服从均值为0、方差为 $(1+2{\sum }_{i=1}^{l-1}{\rho }_i^2)/T$ 的正态分布，$tratio$ 渐进服从标准正态分布。

当 $|tratio|>Z_{\alpha /2}$ 时拒绝 $H_0$，其中 $Z_{\alpha /2}$ 是标准正态分布的 $100(1-\alpha /2)$ 分位点。

联合检验

$H_0:{\rho }_1=\cdots ={\rho }_m=0$；$H_a:$ 对某 i ∈ { 1 , ⋯   , m } , ρ i ≠ 0 i\in\{1,\cdots,m\},\rho_i\neq0 i∈{ 1,⋯,m},ρi​​=0。
$$Q(m)=T(T+2)\sum _{l=1}^m\frac{{\hat{\rho }}_l^2}{T-l}$$
在 { r t } \{r_t\} { rt​} 为满足一定矩条件的独立同分布序列的假定下，$Q(m)$ 渐近服从自由度为 $m$ 的 ${\chi }^2$ 分布。$Q(m)\to {\chi }_m^2$

决策规则：当 $Q(m)>{\chi }_{\alpha }^2$ 时拒绝 $H_0$，其中 ${\chi }_{\alpha }^2$ 是自由度为 $m$ 的 ${\chi }^2$ 分布的 $100(1-\alpha )$ 分位点。

白噪声

{ ε t } \{\varepsilon_t\} { εt​} 为白噪声：
$$\begin{gathered} E({\epsilon }_t)=0 \\ E({\epsilon }_t^2)={\sigma }^2 \\ E({\epsilon }_t{\epsilon }_{\tau })=0,t\ne \tau \end{gathered}$$
此外，如果 { ε t } \{\varepsilon_t\} { εt​} 随时间的变化是独立的，则称为独立白噪声。

进一步，如果 { ε t } ∼ N ( 0 , σ 2 ) \{\varepsilon_t\}\sim N(0,\sigma^2) { εt​}∼N(0,σ2)，则称为高斯白噪声。

线性时间序列

在时间点 $t$：

1. 信息集： { r 1 , r 2 , ⋯   , r t − 1 } ≡ ϝ t − 1 \{r_1,r_2,\cdots,r_{t-1}\}\equiv\digamma_{t-1} { r1​,r2​,⋯,rt−1​}≡ϝt−1​
2. $r_t=conditionalmean+shock=functionofelementsof{ϝ}_{t-1}+a_t$

给定信息 ${ϝ}_{t-1}$：
$$r_t={\mu }_t+a_t=E(r_t|{ϝ}_{t-1})+{\sigma }_t{\epsilon }_t$$
${\mu }_t$：$r_t$ 的条件均值。

$a_t$：时刻 $t$ 的新息或扰动。

${\epsilon }_t$：独立同分布，均值为0，方差为1。

${\sigma }_t$：条件标准误差（波动率）。

在拟合线性时间序列模型之前，我们要测试 ${\mu }_t$ 是否是固定的常数（或： { r t } \{r_t\} { rt​} 是否是白噪声），检验方法见上。

如果白噪声假设不被拒绝，则不需要线性时间序列模型！如果白噪声假设被拒绝，我们需要一个线性时间序列模型！

{ r t } \{r_t\} { rt​} 称为线性序列，如果它能写成：
$$r_t=\mu +\sum _{i=0}^{\infty }{\psi }_i{a}_{t-i}$$
其中 $\mu$ 是 $r_t$ 的均值，${\psi }_0=1$， { a t } \{a_t\} { at​} 是零均值独立同分布的随机变量序列（即为白噪声）。
$$E(r_t)=\mu ,Var(r_t)={\sigma }_a^2\sum _{i=0}^{\infty }{\psi }_i^2$$
其中 ${\sigma }_a^2$ 是 $a_t$ 的方差， { ψ i 2 } \{\psi_i^2\} { ψi2​} 必须是收敛序列，即当 $i\to \infty ,{\psi }_i^2\to 0$。
$$\begin{gathered} r_l=Cov(r_t,r_{t-l})=E[(\sum _{i=0}^{\infty }{\psi }_i{a}_{t-i})(\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_j{a}_{t-l-j})] \\ =E(\sum _{i,j=0}^{\infty }{\psi }_i{\psi }_j{a}_{t-i}{a}_{t-l-j}) \\ =\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_{j+l}{\psi }_{j}E(a_{t-l-j}^2) \\ ={\sigma }_a^2\sum _{j=0}^{\infty }{\psi }_j{\psi }_{j+l} \end{gathered}$$
于是有
$${\rho }_l=\frac{r_l}{r_0}=\frac{{\sum }_{i=0}^{\infty }{\psi }_i{\psi }_{i+l}}{{\sum }_{i=0}^{\infty }{\psi }_i^2}=\frac{{\sum }_{i=0}^{\infty }{\psi }_i{\psi }_{i+l}}{1+{\sum }_{i=1}^{\infty }{\psi }_i^2},l\ge 0$$

AR模型

AR(1)

r t = ϕ 0 + ϕ 1 r t − 1 + a t r_t=\phi_0+\phi_1r_{t-1}+a_t rt​=ϕ0​+ϕ