a*b mod p

例题剖析

题目地址：https://www.acwing.com/problem/content/92/

题目描述

求 a 乘 b 对 p 取模的值。

输入格式

第一行输入整数a，第二行输入整数b，第三行输入整数p。

输出格式

输出一个整数，表示a*b mod p的值。

输入输出样例

数据范围

1 <= a,b,p <= 10¹⁸
输入#1

3
4
5

输出#1

2

思路方法：

求a * b % p，我们很容易想到这个公式：(a * b) % p = (a % p) * (b % p) % p,然而单纯运用这个公式，还是存在数据溢出的问题。（当a，b，p都接近10¹⁸且p > a,b时，a和b对p取余之后的结果之积仍然会超过long long的范围）

那么该如何解决这个问题呢？🙃

转化：
a * b可以看做是b个a相加，若直接相加，则会超时。
处理方法：

• 当b为奇数时，在相加的结果中加上一个a。
• 当b为偶数时，将a的规模翻一倍，b的规模减半。
• 结束条件：b变为0

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    long long a, b, c, ans = 0;
    cin>>a>>b>>c;
    while (b) {
        if (b & 1) {//b为奇数
            ans = (ans + a) % c;
        }
        a = a * 2 % c;//a的规模翻倍
        b >>= 1;//b的规模减半
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}