奇异值分解在图像压缩中的应用

奇异值分解（SVD）定理

奇异值矩阵

• 和A的大小相同都是m×n
• 主对角线元素：从大到小排列，称为奇异值
• 其他位置=0

例：

在这里，第1个矩阵和第3个矩阵为正交矩阵
中间的矩阵=奇异值矩阵，奇异值=7.7，2.6（7.7>2.6）

计算U

（1）

• 求AA(T，转置）：m阶对称矩阵-》可相似对角化
• 求AA(T，转置）的相似对角化矩阵-》得到U
  注意:特征值从大到小排列
  
  

计算V

（1）

• 计算A(T，转置）A：n阶对称矩阵-》可相似对角化
• 求A(T，转置）A相似对角化矩阵-》得到V（T，转置）
  注意：1.特征值从大到小排，2.V本身就是正交矩阵
  
  例子中得到，最后一个是V（T，转置）
  

计算奇异值矩阵

因为A(T，转置）A和AA(T，转置）的非零特征值相同

• 求A(T，转置）A的非零特征值
• 对非零特征值开方-》得到奇异值
• 写一个空的奇异值矩阵（大小=A）
• 把求到的奇异值按照从大到小填充到主对角线
• 其他位置用0填充
  例子：
  AA（T，转置）特征值=59.2，6.75
  

奇异值分解能图片压缩的原因

A=U×奇异值矩阵×V（T）

• 把U写成列向量组U1,U2,U3
• 把V（T）写成行向量
  
  前两个矩阵相乘
  
  乘出来的结果中只有前3项有意义。
  因为1，11系数很小，所以可以把矩阵≈，用近似值表示矩阵-》前两项的系数8.45，4.94为奇异值。
  
  因为前两个系数比较大为奇异值-》对奇异值矩阵分成两个部分（2×2，1×1）
  所以U取前两列，V（T）取前两行，剩余部分省去
  
  省去后的结果
  

降维体现在哪里

我们使得原始矩阵的秩变小了，矩阵大小没有改变
原来的矩阵秩=3-》乘后的矩阵秩=2

求压缩精度
保留原矩阵的特征比例 = 降后的奇异值/原本矩阵的奇异值

压缩后的效果
帮助我们对图片进行压缩

如何用SVD进行图片压缩

RGB：

• R代表Red(红色)
• G代表Green(绿色)
• B代表Blue(蓝色)

RGB具体表示：
R,G,B的取值范围=0-255
（0没有刺激量，255表示刺激量最大）
例： R,G,B=255-》白 ， R,G,B=0->黑
R=G=B->灰度图，否则彩色图

上面的数值：像素点，横着有282个像素点，竖着有114个像素点
在每个像素点处都是R,G,B三原色的叠加结果

灰色图片（R=G=B）二维矩阵
彩色图片有3个矩阵（R,G,B），三维矩阵

压缩图片具体操作

分别对R，G，B矩阵进行压缩，重新组合压缩后的r,g,b生成图片对象

SVD的评价

**优点：**简化数据，去除噪声点，对数据降维（减少秩）；
**适用于数据类型：**数值型。