Bresenham算法学习

Bresenham算法是DDA算法画线算法的一种改进算法。本质上它也是采取了步进的思想。不过它比DDA算法作了优化，避免了步进时浮点数运算，同时为选取符合直线方程的点提供了一个好思路。首先通过直线的斜率确定了在x方向进行单位步进还是y方向进行单位步进：当斜率k的绝对值|m|<1时，在x方向进行单位步进；当斜率k的绝对值|m|>1

时，在y方向进行单位步进。

下面以|m|<1

时推导Bresenham算法的数学依据：

Bresenham-draw-line-a

请看上图，已知有一直线y=mx+b，|m|<1
。我们通过斜率确定了x方向为单位步进。当x=xk时，y=yk。那么当x执行一个单位步进时（即x=xk+1时）,y等于yk还是等于yk+1更符合这个直线方程呢？单凭肉眼我们很难得出结论，最好的办法当然是比较yk和yk+1和真实的方程的y值的差是多少（即yreal=m∗(xk+1)+b

），看看哪一个更靠近真实的方程的y值。

算法的具体过程，其实就是在每次画点的时候选取与实际直线的交点y坐标的差最小的那个点。这里假设：
dupper=(yk+1)−yrealddown=yreal−yk

要确定两像素中哪一个更接近线路径，需测试两个像素偏移的差：
dupper−ddown=2yk−2mxk−2m−2b+1

由于m=ΔyΔx,我们有：
pm=Δx(dupper−ddown)=2Δxyk−2Δyxk+Δx−2Δy−2bΔx

则：
pm+1=2Δxyk+1−2Δyxk+1+Δx−2Δy−2bΔx

相减可得到：
pm+1−pm=2Δx(yk+1−yk)−2Δy(xk+1−xk)

因为xk+1=xk+1，所以有：
pk+1−pk=2Δx(yk+1−yk)−2Δy

其中，yk+1−yk取0还是1，取决于pm

的符号。

明白了数学原理，我们很快能确定算法步骤：

1、输入线段的两个端点，并将左端点存储在(xBegin,yBegin)

中；

2、将(xBegin,yBegin)

装入帧缓存，画出第一个点；

3、计算Δx,Δy
，并得到决策参数的第一个值：
p0=2Δxy0−2Δyx0+Δx−2Δy−2bΔx

因为y0=mx0+b=ΔyΔxx0+b,所以代入可得：
p0=Δx−2Δy

4、从k=0开始，在沿线路径的每个xk

处，进行下列检测：

如果pk<0
,下一个要绘制的点是(xk+1,yk+1)，并且：
pk+1=pk+2Δx−2Δy

否则，下一个要绘制的点是(xk+1,yk)，并且：
pk+1=pk−2Δy

5、重复步骤4，共Δx−1

次

上面是完整严谨的数学推导。当然，也可以用直观的递推方式来实现算法。如图所示，我们可以假设在(xk,yk)
时误差为ε,即实际直线上的点为(xk,yk+ε)，那么下一个位于直线上的点应该为(xk+1,yk+ε+m)。可以看出，当ε+m<0.5时，绘制(xk+1,yk)点，否则绘制(xk+1,yk+1)点。每次绘制后，ε

将更新为新值：

ε=ε+m
, 如果ε+m<0.5

ε=ε+m−1

, 其他情况

将上述公式都乘以Δx
, 并将ε∗Δx用新符号ξ

表示，可得

ξ=ξ+Δy
, 如果2∗(ξ+Δy)<Δx

ξ=ξ+Δy–Δx

, 其他情况