Bresenham圆转换算法详解

Curz酥

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分类专栏：计算机图形学

于 2022-09-30 00:14:26 首次发布

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Bresenham算法圆绘制 C语言算法思想误差修正

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1、圆的性质

2、算法思想

3、C语言伪代码

4、例题

1、圆的性质

在讲解之前，先来了解一下圆的某些性质，bresenham圆转化法对这些性质有一定的应用。让我们来看下图，首先，考虑以坐标系原点为圆心，半径为 r 的圆，则圆周上各点满足 x² + y² = r²。因为圆满足八对称性，所以只要扫描转换八分之一圆弧，就可以求出整个圆弧的像素集。又由于圆关于坐标轴、和对角线对称，在对圆进行扫描转换时，我们只需计算 0度到45度之间的一段圆弧就能得到整个圆，而且取该角度区间也是为了便于计算。

2、算法思想

“暴力”做法是，从 x=0,y=r 开始，x每次移动一个像素，并计算 $y=\sqrt{r^{2}-x^{2}}$ 直到 x=y 为止。此做法的缺点很明显，计算平方和开方，非常费时，而且开方会导致精度不够。此时，Bresenham转换算法就派上用场了。

我们以一幅参考图为例：

目前我们的像素点位于(xi, yi)（图中蓝色方块），接下来我们将往下走一步，即决定涂T点(粉红)还是S点(绿色)方块。

可以简单计算出T点和S点距离圆边的距离

这两个式子起到了一个重要作用：为从一个像素到真实的圆的边缘距离提供相对度量，也就是误差值。

接下来开始计算了：

由于D(T)>0,D(S)<0;于是定义:di=D(T)+D(S)，

展开可得

又

联立两个式子可得式子①(由参考图可知， $x_{i+1}=x_{i}+1$ ，所以可以联立)：

接下来是分类讨论：

如果选中的是像素点T，则 $d_{i}<0$ , $y_{i + 1} = y_{i}$ ，

带入式子①可得： $d_{i+1}=d_{i} + 4x_{i}+6$ ，

如果选中的是像素点S，则 $d_{i}>0,y_{i+1}=y_{i}-1$

带入式子①可得： $d_{i+1}=d_{i}+4(x_{i}-y_{i})+10$ ，

整合一下就是：

至此，一些必要的公式已经推导完成。

综上所述，Bresenham画圆算法的步骤如下：

初始化 x=0，y=r，d1=3-2r (将初始像素(0, r)带入求误差公式即可得)。
当 xi < yi 时，执行以下操作：
① 画像素点(xi, yi)

② 求下一个像素点：

③ 求下一步的误差：
若 xi >= yi，画像素点 (x, y)；否则重复第二步

通过以上步骤，就可以画出圆了。

3、C语言伪代码

void BRESCircle (int r, int Color )
{
      int x = 0, y = r, d = 3 - 2*r;
      while (x < =y) {
              CirclePoints(x, y, Color);
              if (d >= 0) {
                  d += 4*(x-y) + 10; 
		      y--;
              }
              d += 6+4*x; 
               x ++;
      }
 }