唯一分解定理

最新推荐文章于 2024-04-19 22:31:50 发布

Shisan Kfocj Aojdne

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分类专栏：数学概念与方法

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Ratina/article/details/98106369?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522162901729416780261952985%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=162901729416780261952985&biz_id=0&utm_medium=d

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素数欧拉筛唯一分解定理质因数分解阶乘

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本文详细介绍了如何利用欧拉筛法获取素数表，并通过此表对自然数进行唯一分解。此外，还展示了如何计算阶乘的质因数分解，以确定每个质因数的指数部分。通过对给定数n及其阶乘n!的分解，理解数论中唯一分解定理的关键步骤得以清晰呈现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以用某些素数的次方的乘积来表示
一，我们要得到素数表，使用欧拉筛

ll num[maxn];
ll prime[maxn];
void getprime(ll n)
{
	ll i,n,j,cou=0;
	memset(num,0,sizeof num);//全是素数
	for(i=2;i*i<=n;i++)
	{
		if(!num[i])prime[cou++]=i;
		for(j=0;j<cou;j++)//用现有的素数去筛 
		{
			num[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)break; 
		}
	 } 	
 }

二，对n进行分解

void getfactor(int n)
{
cnt=0;;
for (i=1;prime[i]*prime[i]<=n;i++)
{
if(n%prime[i]==0)
{
cnt++;
p[cnt]=prime[i];
a[cnt]=0;//统计上面这个素数被乘的次数
while(n%prime[i]0)
{
a[cnt]++;
n/=prime[i];
}
}
if(n1)break;//除完了
}
if(n>1)
{
cnt++;
p[cnt]=n;
a[cnt]=1;
}
}

三，对n！进行分解
n！=123····n
所以对n！分解的时候的质因子肯定包含1-n的所有质因子，只不过每个质因子被乘的次数不清楚
eg. 8!=12345678
其中 2的倍数2 4 6 8
4的倍数4 8
8的倍数8
所以质因数2被乘的次数即指数部分为4+2+1=7
所以cnt（2）= 8/2+8/2/2+8/2/2/2=4+2+1=7

ll getcnt(ll n,ll p)
{
	if(n==0)return 0;
	return getcnt(n/p,p)+n/p;//返回本次计算的加上递归下个计算的 
}