寻找旋转排序数组中的最小值

📌 题目解析

题目：给定一个旋转排序数组 nums，其中无重复元素，要求找到数组中的最小值。

旋转排序数组的特点

• 初始为递增排序数组，某个位置 k 进行了旋转。

• 旋转后，前 k 个元素移到了数组的后面，导致前大后小的变化。

• 例如：

原数组: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
旋转后: [4, 5, 6, 7, 1, 2, 3]  (最小值 1)

• 数组可以分成两个单调递增部分：

• 左半部分：nums[left] >= nums[0]

• 右半部分：nums[right] <= nums[right-1]

🚀 二分查找思路

目标：利用 二分查找 在 O(log n) 时间内找到最小值

核心逻辑：

1. 检查数组是否已排序

• 如果 nums[left] < nums[right]，说明没有旋转，直接返回 nums[left]。

2. 二分查找

• 计算 mid = left + (right - left) / 2

• 对 nums[mid] 和 nums[right] 进行比较：

• 若 nums[mid] > nums[right]

• mid 处于左半部分，最小值一定在右侧

• 移动 left = mid + 1

• 若 nums[mid] ≤ nums[right]

• mid 可能是最小值，或最小值在 mid 左侧

• 移动 right = mid（保留 mid）

• 循环直到 left == right，返回 nums[left]

✅ 代码实现

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        int left = 0, right = nums.size() - 1;
        
        // 如果数组是有序的（未旋转）
        if (nums[left] < nums[right]) return nums[left];

        while (left < right) {  // 终止条件：left == right
            int mid = left + (right - left) / 2;

            if (nums[mid] > nums[right]) {  
                // mid 在左侧，最小值一定在右半部分
                left = mid + 1;
            } else {
                // mid 在右侧，最小值可能在 mid 及其左侧
                right = mid;
            }
        }
        return nums[left];  // 结束时 left == right，返回最小值
    }
};

📝 运行步骤

我们用 nums = [4, 5, 6, 7, 1, 2, 3] 作为示例，跟踪每一步的 left、right、mid 变化。

迭代	left	right	mid	nums[mid]	nums[right]	操作
初始化	0	6	3	7	3	nums[left] > nums[right]，进入二分查找
1	0	6	3	7	3	nums[mid] > nums[right] → left = mid + 1 = 4
2	4	6	5	2	3	nums[mid] ≤ nums[right] → right = mid = 5
3	4	5	4	1	2	nums[mid] ≤ nums[right] → right = mid = 4
结束	left == right == 4	-	-	-	-	返回 nums[4] = 1

最终答案：1

📊 复杂度分析

时间复杂度	空间复杂度
O(log n)	O(1)

• 时间复杂度：每次二分查找缩小一半范围，O(log n)

• 空间复杂度：只使用了 left 和 right 变量，O(1)

🔍 总结

• 使用二分查找，而不是遍历整个数组 O(n)。

• 核心判断条件：

1. nums[mid] > nums[right]，最小值在右侧

2. nums[mid] ≤ nums[right]，最小值在左侧或 mid

• 终止条件：left == right，返回 nums[left] 即最小值。

这样，我们就能高效地找到旋转排序数组中的最小值 🚀