路与圈简介

路与圈

途径(way)

在图$G=(V,E,\gamma )$中，G的有限非空点边交错序列
$w=v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,\dots ,e_k,v_k$，若满足以下条件：
1.γ(ei)={vi−1,vi}\gamma(e_i)=\{v_{i-1},v_i\}γ(ei​)={vi−1​,vi​}（或$(v_{i-1},v_i)(1\le i\le k)$。
2. 当$e_i$和$e_{i+1}$不是自环时，有$e_{i+1}\ne e_i(1\le i\le n)$（对于无向图）。

则称其为G的一条从$v_0$到$w$的途径，$v_0$称为途径$w$的起点，$v_k$称为途径$w$的终点，而$k$称为途径的长度。

路(path)、圈(cycle)

设$G=(V,E,)$是一图，$w=（v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,\dots ,e_k,v_k）$是一途径。

1. 若$v_0\ne v_k$，则称此途径w是从v0到vk的一条路；记为
   $P=（v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,\dots ,e_k,v_k）$，并称k为路P的长度(即|P|=k)。
2. 若$v_0=v_k$，则称此途径w是一个圈；记为
   $C=（v_0,e_1,v_1,e_2,v_2,\dots ,e_k,v_k）$，并称k为圈C的长度(即|C|=k)。

可达性(reachablility)、连通性(connectivity)

设$G=(V,E,)$是一无向图，$u,v\in V$

1. 若存在着从结点u到结点v的一条路P，则称从结点u到结点v是可达的；
2. 若图G中任何两结点都是可达的，则称此图G是连通的。否则，称图G是非连通的

• 可达概念可以看作结点间的一个二元关系——可达关系；
• 在无向图中，规定任一结点自己到自己总是可达的，即可达关系具有自反性；
• 在无向图中，可达性是相互的，从结点u可达结点v，则从结点v也可达结点u ，即可达关系是对称的；
• 可达关系是传递的，即若从结点u可达结点v，又从结点v可达结点w，则从结点u也可达结点w；
• 一般地，当从结点u可达结点v时，它们之间不一定只有一条路，可能会有若干条路。 称从结点u到结点v的所有路中长度最短的那一条为短程线，并将短程线的长度叫做从结点u到结点v的距离，用d(u, v)表示。

规定：
1.$d(u,u)=0$；
2. 若结点u到结点v不可达，则$d(u,v)=\infty$。

• 短程线不一定是唯一的,有时可能会有好几条；
• 按照通常的理解，距离概念一般都具有下列性质：

1. 非负性：$d(u,v)\ge 0$；
2. 对称性；$d(u,v)=d(v,u)$；
3. 三角不等式：$d(u,v)+d(v,w)\ge d(u,w)$\

• 对无向图，上述性质全成立；
• 对有向图来说，第二条，对称性质不成立。

连通性是有强弱之分的；
(1)若图G中任二结点间都至少存在着一条路可达，则称图G是1-连通的；
(2)若图G中任二结点间都至少存在着k条不同的路可达，则称图G是k-连通的$(k\ge 2)$；

• 通常所说的连通性实际上是指1-连通。 1-连通的连通性较差，重要的信道图网络，比如军事信道图网络，其连通性至少在2-连通以上。

简单路(simple path)简单圈(simple cycle)

无重复边的路称为简单路；
无重复边的圈称为简单圈。

初级路(elementary path)初级圈(elementary cycle)

无重复点的路称为初级路；
无重复点的圈称为初级圈

定理1

设G=(V,E)为一简单图，若|V|= n ，则

1. G中任一初级路的长度均不超过n-1；
2. G中任一初级圈的长度均不超过n。

连通支(分图(connected component))

无向图中极大的连通子图称为一个连通支。

强连通 单向连通 弱连通设

设$G=(V,E,)$是一有向图。如果G中

1. 任意两结点间都是相互可达的，则称图G是强连通的( strongly connected)；
2. 任意两结点间至少有一结点可达另一结点，则称图G是单向连通的(single directed connected)；
3. 略去边的方向后，任意两结点间都是可达的(即图G的无向图是连通的)，则称图G是弱连通的(weakly connected)。

•强连通$⟹$单向连通；反之？单向连通$⟹$弱连通；反之?

强分图 单向分图 弱分图

设$G=(V,E,)$是一简单有向图。

1. 称 G 的 极 大 的 强 连 通 子 图 为 G 的 强 连 通 支 ( 强分图 ( strongly fragments))；
2. 称G的极大的单向连通子图为G的一个单向连通支(单向分图(single directed fragments))；
3. 称G的一个极大的弱连通子图为G的一个弱连通支(弱分图(weakly fragments))。

• 有向图中的强连通性建立了图G的结点集V上的一个等价关系，因而诱导出了图G的结点集V上的一个划分，图G的每一个强连通支就是一个“划分块”；但是却不能在图G的边集E上建立一个划分；
• 有向图中的弱连通性在图G的结点集V上以及边集E上都建立了一个等价关系，因而在图G的结点集V上以及边集E上都诱导出了一个划分，图G的每一个弱连通支就是一个“划分块”；
• 有向图中的单向连通性，由于单向可达关系不具有对称性，所以这种关系并不能在图G的结点集V上及边集E上建立一个等价关系，因而也不能在图G的结点集V上及边集E上诱导出一个划分，图G的每一个单向连通支也就不会是(由某种等价关系所确定的)一个“划分块。

定理2

1. 每一个结点及每一条边都恰在一弱连通支中；
2. 每一个结点都恰在一个强连通支中；
3. 每一个结点、每一条边都至少属于一个单向连通支。