图的基本概念_quotient graph-优快云博客

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图的定义

图的定义一

图G = (V, E)是一个系统，其中
(1) $\ne \varnothing$ 是一个有限集合；V中的每一元素 $v∈Vv\in V$ 都称为图G的一个结点(node ,vertex)， V称为图G的结点集；
(2)E是一个有限集合； E中的每一元素 $e∈Ee\in E$ 都称为图G的一条边(edge) ；E称为图G的边集。

此定义的优点是简单，适应面广；缺点是没有规定清楚点、线之间的关系。

图的定义二

图G = (V, E)是一个系统，其中
(1) $\ne \varnothing$ 是一个有限集合；V中的每一元素 $v∈Vv\in V$ 都称为图G的一个结点(node ,vertex)， V称为图G的结点集；
(2) $E⊆V×VE\subseteq V\times V$ 是一个有限集合,一个V上的关系； E中的每一元素 $(u,v)∈E(u,v)\in E$ 都称为图G的一条边(edge)，这里 $u,v∈Vu,v\in V$ ；E称为图G的边集。

此定义的优点是简单，规定了清楚的点、线之间的关系，很适合简单图、特别是有向图（比如第二章的关系图、哈斯图）；缺点是无法表示平行边，因此不适合多重图（比如上节的七桥图）

图的定义三

图 $(V,\sum, E)$ 是一个系统，其中
(1) $\ne \varnothing$ 是一个有限集合；V中的每一元素 $v∈Vv\in V$ 都称为图G的一个结点(node ,vertex)， V称为图G的结点集；
(2) $∑\sum$ 是一有限集合； $∑\sum$ 中的每一元素 $σ\sigma$ 都称为图G中的一个标号(label)； $∑\sum$ 称为图G的标号集
(3) $E⊆V×∑×VE\subseteq V\times \sum \times V$ 是一个有限集合,一个三元关系； E中的每一元素 $(u,σ,v)∈E(u,\sigma,v)\in E$ 都称为图G的一条边(edge)或弧(arc),此边起自u而终于v ；称u是此边的起点，称 $σ\sigma$ 是此边的标号，称v是此边的终点，起点和终点统称为边的端点,这里 $(u,v∈V,σ∈∑)(u,v\in V,\sigma \in \sum)$ ； E称为图G的边集。

此定义是由美国哈佛大学爱伦堡教授给出的；
此定义规定了严格的点、线之间的关系，适应面很广、特别适合多重图（比如上节的七桥图）；缺点是边表示比较复杂，简单图一般不采用。
标号实际上是为了区别两点间的平行边而设的；标号集的大小一般就是图中平行边的最大条数(图的重数，参见下面概念)。
当图的重数为1，即图无平行边时(简单图，参见下面概念)，有 $∑={σ1}\sum = \{\sigma_1\}$ ,各边标号一样，全为 $σ1\sigma_1$ .这时可取掉各边标号及标号集，定义3就变成了定义2；所以定义3适合于图的一般情况，特别是(有平行边的)多重图，而定义2适合于(无平行边的)简单图。

图的定义四

图 $\gamma)$ 是一个系统，其中
(1) $\ne \varnothing$ 是一个有限集合；V中的每一元素 $v∈Vv\in V$ 都称为图G的一个结点(node ,vertex)， V称为图G的结点集；
(2) $E$ 是一个有限集合; E中的每一元素 $e∈Ee\in E$ 都称为图G的一条边(edge)；E称为图G的边集。
(3) $γ\gamma$ 是边到结点集的一个关联函数，即
$\gamma :E \to 2^V(无向图)或\gamma :E \to V\times V(有向图)$
$γ\gamma$ 将E中的每条边 $e∈Ee\in E$ 与结点集V中的一个二元子集 ${u,v}∈2V\{u,v\}\in 2^V$ (或 ${u,v}⊆V)\{u,v\}\subseteq V)$ 相关联，或与结点集V上的一个二元组 ${u,v}∈2V\{u,v\}\in 2^V$ (或 ${u,v}⊆V×V)\{u,v\}\subseteq V\times V)$ 相关联，即
$\gamma(e)=\{u,v\}(无向图)或\gamma(e)=（u,v）$
称u是此边的起点，称v是此边的终点，结点u和v统称为边的端点

此定义是对美国库曼教授所给定义的一个修正；
此定义的优点是适应面较广，尤其是将边看作是和结点同样的独立的研究对象，边不再是由结点表示的一个附属对象，用函数概念规定了点、线之间的严格关联关系，这样一来，就便于边概念的进一步推广（比如引出超图概念）；缺点是关联函数表示比较烦琐，简单图一般不采用。

图论的概念术语

(n,m)图

|V| = n,|E| = m，即有n个结点和m条边的图称为 ( n, m ) 图。

无向边(undirected edges简edges)

在定义3下，若边 $(u,σ,v)(u,\sigma , v)$ 与边 $(v,σ,u)(v,\sigma ,u)$ 表示同一条边，则称此边为无向边。

无向图(undirected graph简graph)

所有的边都是无向边的图称为无向图。记为G。

有向边(directed arc简arc或arrow)

在定义3下，若边(u, , v)与边(v, ,u)表示不同的边，则称此边为有向边。

有向图(directed graph简digraph)

所有的边都是有向边的图称为有向图。记为D。

混和图(mixed graph)

既有有向边又有无向边的图称为混和图。

空图(empty graph)

$V=∅(当然E=∅)V=\varnothing (当然 E=\varnothing)$ ，即没有一个结点的图称为空图。

零图(null graph)

$E=∅E=\varnothing$ 即没有一条边的图称为零图。

平凡图(trivial graph)

|V| = 1，即只有一个结点的图称为平凡图。

二边相邻(adjacent)

在图中，若两条边有一公共端点，则称此二边相邻。

二结点相邻(adjacent)

若两个结点是同一条边的两个端点，则称此二结点相邻。

一结点与一边相关联(incident)

若一结点是一边的一个端点，则称此结点与该边相关联。

孤立点(isolated vertex)

不与任何边相关联的结点称为孤立点。

自环(loop )

两个端点相同的边称为自环。

平行边(parallel edges )

有相同端点(相同的起点，相同的终点)的两条边称为平行边。

重数(multiplicity)

两结点间平行边的条数称为平行边的重数。

多重图(multiply graph)

具有平行边的图称为多重图；多重图的重数是图中平行边重数的最
大者

简单图(单图、单纯图(simple graph))

无平行边、无自环的图称为简单图。

图的阶(order)

图中结点的个数|V|称为图的阶

完全图(complete graph)

每一对不同的结点间都有一条边的简单图称为完全图。
n个结点m条边的无向完全图： $m=n(n−1)2m=\dfrac{n(n-1)}{2}$
n个结点m条边的有向完全图： $m = n (n - 1)$
n个结点的无向完全图记为： $K_n$

子图与补图

子图(subgraph)

设 $G = (V, E) 和 G^{'} = (V^{'}, E^{'})$ 是两个(有向的或无向的)图。
(1) 若 $V⊆VV\subseteq V$ 且 $E⊆EE\subseteq E$ ，则称 $G^{'}$ 为 $G$ 的子图；
(2) 若 $V⊂VV\subset V$ 且 $E⊂EE\subset E$ ，则称 $G^{'}$ 为 $G$ 的真子图(proper-)；
(3) 若 $V = V$ 且 $E = E$ ，则称 $G^{'}$ 为 $G$ 的生成子图(spanning-)；
(4)若 $V = V$ 且 $E = E$ ，或 $V = V$ 且 $\varnothing$ ，称 $G^{'}$ 为 $G$ 的平凡子图(trivial-)；即:
图G 本身和G的零图是G的平凡子图。

商图(quotient graph)

设 $G = (V, E)$ 是一(有向的或无向的)图。 $R⊆V×VR\subseteq V\times V$ 是一结点集V上的等价关系。
那么，定义图G关于等价关系R的商图为简单图
$GR=(VR,ER)G^R=(V^R,E^R) \quad$ 其中：
$VR=V/R={[v]R∣v∈R}V^R=V/R=\{[v]_R|v\in R\}$ 是V关于等价关系R的商集；
$ER={[u]R,[v]R∣[u]R∈VR∧[v]R∈VR∧(∃u′∈[u]R)(∃v′∈[v]R)((u′,v′)∈E)}E^R=\{[u]_R,[v]_R|[u]_R\in V^R\land [v]_R\in V^R \land (\exists u'\in [u]_R) (\exists v'\in [v]_R) ((u',v')\in E)\}$

补图(complement graph)

设 $G = (V, E)$ 是一(有向的或无向的)图。 $G^{'} = (V^{'}, E^{'})$ 是与图G相应的完全图。定义图G的补图 $G‾=(V,E‾)\overline{G}= (V, \overline{E})$ ，其中：
$E‾=E′\overline{E}=E'$ \E

结点的度

结点的出度(out-degree)

有向图中以结点v为起点的有向边的条数称为结点v的出度。记为 $deg←(v)\overleftarrow{deg}(v)$

结点的进度(入度(in-degree))

有向图中以结点v为终点的有向边的条数称为结点v的进度。记为 $deg→(v)\overrightarrow{deg}(v)$

结点的度(degree)

图中与结点v关联的边的条数称为结点v的度。记为 $d e g (v)$ 。

奇结点(odd vertex)

度数为奇数的结点称为奇结点。

偶结点(even vertex)

度数为偶数的结点称为偶结点。

图G的最小度(minimal degree)

图G中各结点度数的最小者。记为 $δ(G)\delta (G)$ 。

图G的最大度： (maximum degree)

图G中各结点度数的最大者。记为 $Δ(G)\Delta(G)$

正则图(regular graph)

若图G中各结点的度数都相等，则称图G 是正则图。显然，这时 $δ(G)=Δ(G)\delta(G)=\Delta(G)$ 。

k-正则的(k- regular)

若图G中各结点的度数都相等，且为k ，则称图G 是 k-正则的，或k度正则的。显然，这时 $δ(G)=Δ(G)=k\delta(G)=\Delta(G)= k$ 。

悬挂点(hang vertex)

度数为1的结点称为悬挂点。

悬挂边(hang edge)

与悬挂点关联的边称为悬挂边。

定理1

无向图G中，所有结点的度之和等于边数的二倍；
有向图G中，所有结点的进度之和等于出度之和等于边数；

定理2.任何图中所有奇结点的度数之和是偶数。

推论1.(握手引理) 在一次集会上和奇数个人握过手的人的
数目是偶数。

图的同构(isomorphism of graphs)

同构的定义

(1)称 $G = (V, E)$ 和 $G ’ = (V ’, E ’)$ 二图同构，记为 $G\cong G'\iff$
存在两个双射函数 $φ:V→V′,ψ:E→E′\varphi: V \rightarrow V',\psi: E \rightarrow E'$ ，
使得 $φ(u)=u′∧φ(v)=v′\psi (u,v)=(u',v')\implies \varphi(u)=u'\land \varphi(v)=v'$ 。
(2)称 $G=(V,E,γ)G=(V,E,\gamma)$ 和 $G’=(V’,E’,γ′)G’=(V’,E’,\gamma')$ 二图同构，记为 $G\cong G'\iff$
存在两个双射函数 $φ:V→V′,ψ:E→E′\varphi: V \rightarrow V',\psi: E \rightarrow E'$ ，使得
$φ(u)=u′∧φ(v)=v′\psi (e)=e'\land \gamma(e)=\{u,v\}\land \gamma'(e')=\{u',v'\}\implies \varphi(u)=u'\land \varphi(v)=v'$
$φ(u)=u′∧φ(v)=v′\psi (e)=e'\land \gamma(e)=(u,v)\land \gamma'(e')=(u',v')\implies \varphi(u)=u'\land \varphi(v)=v'$

图的同构远比代数系统的同构复杂。这是因为图的同构在同态公式中牵扯着两个(甚至三个,考虑定义三)双射函数的交叉关系，而代数系统的同构在同态公式中只有一个双射函数。因此图的同构问题不象代数系统的同构问题那样有许多进展、有几个定理好用，迄今为止，没有任何进展，没有任何定理可用，仅仅只能用定义。

性质

若两个图同构，则它们必须满足：
(1)结点个数相等；
(2)边数相等；
(3)对应结点的进度、出度、度数均相等；
(4)度数相同的结点个数相等；
(5)平行边对应，重数相等；
(6)自环对应；悬挂点对应；孤立点对应；
(7)结点间的相邻关系对应；边间的相邻关系对应；结点与边的关联关系对应；
(8)圈对应；路对应；
(9)对应圈的长度相等；对应路的长度相等；
…