图论：最小生成树

前言：今天记最小生成树的两个算法，Prim算法和Kruskal算法。

Prim算法与Dikjstra算法思路相似，所以也有堆优化版本，但是我们通常用不到，如果Prim算法过不了的，用Kruskal算法就好。

目录

1、Prim算法

2、Kruscal算法

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1、Prim算法

思路：循环n次，每次循环中找到最近的那个点，将他加入树中，随后用这个点来更新他连接的其他点的距离。如果中间有一个距离是INF那么说明当前最小的点到集合中的距离是INF，所以无法生成

题目：

给定一个 n 个点 m 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)，其中 V表示图中点的集合，E 表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。

由 V 中的全部 n 个顶点和 E 中 n−1 条边构成的无向连通子图被称为 G 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 G 的最小生成树。

代码模板

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=510,INF=0x3f3f3f3f;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int n,m;

int prim(){
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    int res=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        //找n次
        int t=-1;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(!st[j]&&(dist[t]>dist[j]||t==-1)) t=j;
        }//找到最近的点
        if(i&&dist[t]==INF) return INF;//如果不是第一个且当前最近的点到集合的距离为INF，返回到不了
        if(i) res+=dist[t];
        for(int j=1;j<=n;j++) dist[j]=min(dist[j],g[t][j]);
        st[t]=true;
    }
    return res;
}


int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(g,0x3f,sizeof g);//初始化，将每个点到另一个点的距离设为0x3f3f3f3f
    while(m--){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        g[a][b]=g[b][a]=min(g[a][b],c);//去重边
    }
    int t=prim();
    if(t==INF) puts("impossible");
    else printf("%d",t);
    return 0;
}

2、Kruscal算法

思路：

比如n个点，那么它的最小生成树就有n-1条边，所以我们通过排序的方式，获取他前n-1大的边就可以了，而这里使用的方式是并查集的方式，边排序之后，我们将每条边都循环一遍，如果按照顺序遍历的两个点之间祖宗结点不一样，那么说明他们不在一个图中，我们可以将A的父节点指向B，使其连同起来。而如果当前遍历的边中两个点的祖宗结点是相同的，那么说明当前这几个点已经在集合中了，如果加上当前边就够构成环，所以如果两个点的祖宗结点相同就舍弃。

这样操作过后我们就会得到当前图的最小生成树了

上代码！

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=1e6+10;//假设最多1e5个点，1e6条边
struct Edge{
    int x,y,w;
}edges[M];
int n,m;
int p[N];//第i个数的父节点
int res,cnt;//储存权值和当前边的数量

int find(int x){
    if(p[x]!=x) p[x]=find(p[x]);//让每个点的父节点直接指向根节点
    return p[x];
}
bool cmp(Edge A,Edge B){
    return A.w<B.w;//让其按照w升序排列
}
void kruskal(){
    sort(edges,edges+m,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++) p[i]=i;
    for(int i=0;i<m;i++){
        int x=edges[i].x,y=edges[i].y,w=edges[i].w;
        x=find(x),y=find(y);//让其变成根节点
        if(x!=y){
            p[x]=y;//如果不在一个集合中让x指向y
            res+=w;//权值
            cnt++;//加入的边数
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        edges[i]={a,b,c};
    }
    kruskal();
    if(cnt<n-1) puts("impossible");//如果加入的边小于n-1说明不能构成
    else printf("%d",res);
    return 0;
}