【图论算法】最小生成树 (Prim 算法、Kruskal 算法)

一个无向图G 的最小生成树(minimum spanning tree) 就是由该图的那些连接 G 的所有顶点的边构成的树，即在最小生成树中边的条数为 |V| - 1，且其总的值最低。最小生成树存在当且仅当 G 是连通的。虽然一个强壮的算法应该指出 G 不连通的情况，但是我们还是假设 G 是连通的。

对于最小生成树问题，贪婪的做法是成立的，这里介绍两种算法，它们的区别在于最小（值的）边如何选取上。

Prim 算法

在该算法的任一时刻，我们都可以看到一组已经添加到树中的顶点，而其余顶点尚未加到树上。此时，算法在每一阶段都可以通过选择边(u, v)，使得(u, v) 的值是所有 u 在树上但 v 不在树上的边的最小值，从而找出一个新的顶点并将它添加到这棵树中。

图1 无向图G

对于图1 中的无向图 G，图2 指出了该算法如何从 v₁ 开始构建最小生成树。开始时，v₁ 在构建中的树上，它作为树的根但是没有边。每一步添加一条边和一个顶点到树上。

图2 在每一步之后的 Prim 算法

我们可以看到，Prim 算法基本上与求最短路径的 Dijkstra 算法相同。因此，和前面一样，我们对每一个顶点保留值 d_v 和 p_v 以及一个指标，标示该顶点是 known 的还是 unknown 的。这里，d_v 是连接 v 到一个 known 顶点的最短边的权，而 p_v 则是导致 d_v 改变的最后的顶点。算法其余部分完全一样，只有一点不同：由于 d_v 的定义不同，因此它的更新法则也不同：在每一个顶点 v 被选取之后，对于每一个邻接到 v 的unknown 的 w，d_w = min(d_w, v_w,v)。

表的初始配置由图3 指出，其中 v₁ 被选取，而 v₂、v<