本文深入探讨了衡量算法效率的方法，主要聚焦于时间复杂度和空间复杂度。通过大O的渐进表示法，简化了算法运行时间的计算，并提供了多个实例进行解析。同时，强调了在实际应用中通常关注最坏情况的时间复杂度。此外，还介绍了空间复杂度的概念，指出其衡量的是算法运行时所需额外空间。最后，文章给出了几个关于时间复杂度和空间复杂度的典型示例及练习题。
目录
算法效率
如何衡量一个算法的好坏
通过算法的时间复杂度和空间复杂度！
算法的复杂度
算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度
时间复杂度的概念
找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。
// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 0; i < N ; ++ i)
{
for (int j = 0; j < N ; ++ j)
{
++count;
}
}
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}第一段执行n*n次
第二段执行2*n次
第三段执行10次
准确的实间复杂度函数式是：
大O的渐进表示法
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
O(n）
随着n越大，后两项对结构影响几乎可以忽略不计！
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
- 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
- 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
- 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)
- 最好情况：1次找到
- 最坏情况：N次找到
- 平均情况：N/2次找到
常见时间复杂度计算举例
例一：
// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
{
++count;
}
int M = 10;
while (M--)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}实际：F(N) = 2*N+10
基本操作执行了2N+10次，通过推导大O阶方法知道，时间复杂度为 O(N)
例二：
// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; ++ k)
{
++count;
}
for (int k = 0; k < N ; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)
ps:
- 不知道M和N的大小 O（N+M)
- N远大于M O（N）
- M远大于N O（M）
- M和N差不多 O（M）或 O（N）
例三：
// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
int count = 0;
for (int k = 0; k < 100; ++ k)
{
++count;
}
printf("%d\n", count);
}例四：
// 计算strchr的时间复杂度？
const char * strchr ( const char * str, int character );这个函数是查找一个字符！
内部实现为：
while（*str）
{
if(*str == character)
return str;
else
++str
}
return NULL;例五：
// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}例六：
// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
assert(a);
int begin = 0;
int end = n-1;
// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
while (begin <= end)
{
int mid = begin + ((end-begin)>>1);
if (a[mid] < x)
begin = mid+1;
else if (a[mid] > x)
end = mid-1;
else
return mid;
}
return -1;
}例七：
// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(0 == N)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}通过计算分析发现基本操作递归了N次，时间复杂度为O(N)
例八：
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
if(N < 3)
return 1;
return Fib(N-1) + Fib(N-2);
}空间复杂度
例一：
// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
assert(a);
for (size_t end = n; end > 0; --end)
{
int exchange = 0;
for (size_t i = 1; i < end; ++i)
{
if (a[i-1] > a[i])
{
Swap(&a[i-1], &a[i]);
exchange = 1;
}
}
if (exchange == 0)
break;
}
}使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)
例二：
// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
if(n==0)
return NULL;
long long * fibArray = (long long *)malloc((n+1) * sizeof(long long));
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; ++i)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)
例三：
// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
if(N == 0)
return 1;
return Fac(N-1)*N;
}递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)
常见复杂度对比
复杂度的oj练习
面试题 17.04. 消失的数字 - 力扣（LeetCode）
int missingNumber(int* nums, int numsSize){
int x = 0;
for(int i = 0;i < numsSize;++i)
{
x ^= nums[i];
}
for(int j = 0;j < numsSize+1;++j)
{
x ^=j;
}
return x;
} 
void reverse(int* a, int left, int right)
{
while(left < right)
{
int tmp = a[left];
a[left] = a[right];
a[right] = tmp;
++left;
--right;
}
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
k = k % numsSize;
reverse(nums,numsSize - k, numsSize - 1);
reverse(nums,0, numsSize - k - 1);
reverse(nums, 0, numsSize - 1);
} 
好题分享
1.下列有关大O表示法的说法错误的是
A.大O表示法只是对程序执行时间的一个估算
B.大O表示法只保留最高阶项
C.大O表示法会保留一个系数来更准确的表示复杂度
D.大O表示法一般表示的是算法最差的运行时间
答案解析：
答案：C
解析：大O是一个渐进表示法，不会去表示精确的次数，cpu的运算速度很快，估计精确的没有意义。
2. 分析以下程序的时间复杂度
for(int i=0;i<n;i++)
for(int j=0;j<n;j++)
a[i][j]=i*j;A.O(n)
B.O(n^2)
C.O(nlogn)
D.O(logn)
答案解析：
答案：B
解析：
程序有两次循环，每个循环都有n次操作，所以时间复杂度为n^2
3.分析以下函数的时间复杂度
void fun(int n) {
int i=l;
while(i<=n)
i=i*2;
}A.O(n)
B.O(n^2)
C.O(nlogn)
D.O(logn)
答案解析：
答案：D
解析: 此函数有一个循环，但是循环没有被执行n次，i每次都是2倍进行递增，所以循环只会被执行log2(n)次。
4.下面算法的时间复杂度是（ ）
int f ( unsigned int n ) {
if (n == 0 || n==1)
return 1;
else
return n * f(n-1);
}A.O(n)
B.O(n^2)
C.O(nlogn)
D.O(logn)
答案解析：
答案：A
解析：
此函数会被递归调用n - 1次，每次操作都是一次，所以时间复杂度为n
5.给定一个整数sum，从有N个有序元素的数组中寻找元素a，b，使得a+b的结果最接近sum，最快的平均时间复杂度是（ ）
A.O(n)
B.O(n^2)
C.O(nlogn)
D.O(logn)
答案解析：
答案：A
解析：
此题目中，数组元素有序，所以a,b两个数可以分别从开始和结尾处开始搜，根据首尾元素的和是否大于sum,决定搜索的移动，整个数组被搜索一遍，就可以得到结果，所以最好时间复杂度为n
6.设某算法的递推公式是T(n)=T(n-1)+n，T(0)=1，则求该算法中第n项的时间复杂度为（）
A.O(n)
B.O(n^2)
C.O(nlogn)
D.O(logn)
答案解析：
答案：A
解析：
T(n)
=T(n-1)+n
=T(n-2)+(n-1)+n
=T(n-3)+(n-2)+(n-1)+n
...
=T(0)+1+2+...+(n-2)+(n-1)+n
=1+1+2+...+(n-2)+(n-1)+n
从递推公式中可以看到，第n项的值等于1到n的累加值，需要遍历n个元素
所以时间复杂度为n
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