AlbertM的博客

本文主要内容如下：1. 与证明相关的引理2. Cauchy 基本表示定理

本文主要内容如下：1. 仿射量的各向同性标量值函数的梯度为各向同性张量函数2. 二阶张量矩的梯度3. 二阶张量主不变量的梯度4. 方根的第一主不变量的梯度

1. 各向同性张量2. 各项同性张量的实例2.1. 标量(零阶张量)2.2. 向量(一阶张量)2.3. 仿射量(二阶张量)2.4. 三阶张量2.5. 四阶张量3. 各向同性张量函数4. 仿射量的主不变量是标量值的各向同性函数

本文主要内容如下：1. Lamé 常数2. 物理标架与物理分量3. Pfaff 导数4. 物理标架上的 Christoffel 符号5. 物理标架上的梯度、散度与旋度

类比考虑四阶单位张量的定义，对二阶张量函数。指标对称化，则可得到。

本文主要内容如下：1. 不变性微分算子2. 散度3. 旋度4. Laplace 算子

1. 协变导数1.1. 协变导数与矢量场的梯度1.2. 协变导数与张量场的梯度2. 协变导数的性质2.1. 度量张量分量的协变导数为零（Ricci引理）2.2. 置换张量分量的协变导数为零2.3. 协变导数的求导法则3. 两个易混淆的关系式3.1 张量张量积的梯度3.2 张量点积的梯度

本文的主要内容如下：1. 协变基矢对曲线坐标的导数与Christoffel符号2. Christoffel符号的计算与性质2.1. Christoffel符号的计算2.2. Christoffel符号的对称性与指标升降关系2.3. 度量张量的协变分量与第一类Christoffel符号的关系2.4. 第二类Christoffel符号与协变基矢的混合积\sqrt{g} g​ 的关系2.5. Christoffel符号不是三阶张量的分量3. 逆变基矢对曲线坐标的导数

本文主要内容如下：1. 张量场函数2. 张量场函数的导数/梯度

本文主要内容如下：1. 范数2. 线性表示定理3. 张量函数的连续、微分与导数

本文主要内容如下：1. 仿射量极分解的存在性与唯一性2. 左、右极分解正张量特征值与特征向量的关系

本文主要内容如下：1. 加法分解的存在性与唯一性2. 仿射量(反)对称部分主不变量与仿射量主不变量之间的联系3. 球形张量与偏斜张量及其特征值与特征方向4. 对称仿射量球(偏)量部分主不变量与对称仿射量主不变量之间的联系

本文主要内容包括：1. 正张量、非负张量的概念2. 正张量、非负张量的充要条件3. 由任意(正则)张量构造非负(正)张量的一种方式

本文主要内容如下：1. 反对称二阶张量的概念2. 反对称二阶张量的主不变量3. 反对称二阶张量的特征值与特征向量4. 反对称二阶张量的标准形4. 反偶矢量5. 反对称二阶张量对应的线性变换

正交张量的恒等式

本文主要内容为：1. 正交张量的标准形【注】正交张量的其它性质，请参见（十 三)(二）特殊二阶张量一文

本文主要讲述正交张量的性质：1. 正常正交张量与反常正交张量2. 正交变换3. 正交张量的特征值4. 正交张量的特征向量

本文按照如下特征方程解的情况讨论非对称二阶实张量的标准形：1. 特征方程无重根1.1. 特征方程有三个互异的实根1.2. 特征方程有一个实根和一对共轭复根2. 特征方程有二重实根和一个与重根互异的实根2.1. 二重特征值的几何重数等于22.2. 二重特征值的几何重数等于13. 特征方程有三重实根3.1. 三重特征值的几何重数等于33.2. 三重特征值的几何重数等于23.3. 三重特征值的几何重数等于1

本文主要内容如下：1. 二阶张量的坐标转换关系与矩阵的相似/合同变换2. 实对称二阶张量的标准形

本文主要内容如下：1. 二阶张量的特征值问题与矩阵的特征值问题2. 一般二阶张量的特征值与特征向量的性质3. 实对称二阶张量的特征值与特征向量的性质3.1 实对称张量的特征值为实数3.2 实对称张量不同特征值对应的特征向量正交3.3 实对称张量特征空间的几何特征

1. 二阶张量的不变量1.1. 张量的标量不变量1.2. 二阶张量的主不变量1.3. 二阶张量的矩(Nanson公式的证明)

本文主要内容如下：1. 二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算4.1. 二阶张量的相等、加（减）、数乘1.2. 二阶张量的缩并1.3. 二阶张量与矢量的点积 —— 线性变换1.4. 二阶张量与二阶张量的点积2. 正则二阶张量与可逆矩阵......

本文主要内容如下：1. 二阶张量的矩阵表示2. 二阶张量转置与矩阵转置3. 二阶张量的行列式与矩阵的行列式

1. 张量的代数运算1.1. 张量的相等1.2. 张量的加（减）法1.3. 张量的数乘1.4. 张量的并乘1.5. 张量的缩并1.6. 张量的点积/内积1.7. 张量的叉积/矢积1.7.1. 矢量的叉积1.7.2. 矢量的混合积1.7.3. 矢量的三重叉积1.7.4. 张量的叉积1.8. 张量的商法则.....................

1. 度量张量1.1 度量张量协（逆）变分量的坐标转换关系1.2 度量张量2. 置换张量2.1 置换符号2.2 行列式的展开式2.3 置换张量2.4 基矢量的叉积2.5 ϵ∼δ恒等式2.6 二维置换张量

在讲述协（逆）变基矢时，我们曾得到如下两个关系式：g⃗i=gijg⃗j g⃗i=gijg⃗j\vec{g}^i=g^{ij}\vec{g}_j\\\ \\\vec{g}_i=g_{ij}\vec{g}^jg​i=gijg​j​ g​i​=gij​g​j将其称为基矢量的坐标升降关系。下面讲述矢量分量的指标升降关系。任意矢量 v⃗\vec{v}v 既可以对协变基矢构成的基进行分解，也可以对逆变基矢构成的基进行分解，即：v⃗=pig⃗i=pig⃗i\vec{v}=p^i\vec{g}_i=p_i\vec{g}^i

在一般的曲线坐标系中：dr⃗=∂r⃗∂xidxid\vec{r}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^i}d x^idr=∂xi∂r​dxi定义协变基矢/自然基矢：g⃗i=∂r⃗∂xi\vec{g}_i=\frac{\partial\vec{r}}{\partial x^i}g​i​=∂xi∂r​显然，协变基矢g⃗i\vec{g}_ig​i​与坐标线xix_ixi​的相切，指向其正方向，大小为坐标xix_ixi​变化单位增量时前后两点的距离。借助直角坐标系作为参考：r⃗(x1