【高等工程数学】南理工研究生课程 突击笔记4 幂迭代

最新推荐文章于 2025-03-08 17:11:42 发布
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文章标签： 矩阵 线性代数
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幂迭代法，和逆幂迭代法

文章目录

写在前面

承接笔记3，先补一个盖尔圆的题目
在这里插入图片描述在这里插入图片描述
如果特征值是复数，则会有成对出现，并且两个特征值的位置关于实轴对称在这里插入图片描述题目引自: 南理工-高等工程数学突击

一、幂迭代法

对于五次或五次以上的多项式方程一般没有公式求解，所以对阶数较大的矩阵，其特征值计算往往非常困难。幂迭代法是一种近似求得特征值的办法。

幂迭代法可以得到按模最大的特征值
主要证明如下，不看证明也行

1. 将A的特征值从大到小排列
在这里插入图片描述
2. 这些特征值对应的特征向量为
在这里插入图片描述

3. 任取一个非零向量v0，用A构造一个向量序列
在这里插入图片描述

4. 把v0用特征向量表示出来
在这里插入图片描述

5. 带入Vk
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

6. 将最大的λ1提出来
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

7. 因此
在这里插入图片描述
这里的i表示向量的第i个分量
写出来的步骤就是

  1. 对A使用幂法，求出其按模长最大的特征值λ。

  2. 任取
    在这里插入图片描述

  3. 则
    在这里插入图片描述

  4. 有
    在这里插入图片描述
    那么Vk也就近似于λ1对应的特征向量x1

二、逆幂迭代法

逆幂迭代法可以求得矩阵A的最小特征值，其思路就是对A的逆矩阵进行幂迭代，得到的最大特征值就是A的最小特征值的倒数。
在这里插入图片描述

三、规范化迭代方式

由
在这里插入图片描述
可知
在这里插入图片描述
为了克服这一问题，通常采用规范化迭代方法。具体做法为：每一次都将迭代向量的最大分量化为1之后，再带入下一次迭代。
在这里插入图片描述
这样的话在k足够大的时候
在这里插入图片描述

四、A分解

实际计算中可以先把A做LU分解,其余不变
在这里插入图片描述
在逆幂法中
在这里插入图片描述

例

19年第二题
在这里插入图片描述
注意两种迭代法只能求出最大和最小特征值，而对于靠近λ的问题可以转化成求 A-λI 的最小特征值。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
选列主元分解与LU分解的区别就是在A前面加个P，留到第三章再说

总结

第二章结束，第三章下星期再说

asa440
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