P1226 【模板】快速幂||取余运算(快速幂公式) && 补充： 64位整数乘法(二进制)

题目描述
给你三个整数 a,b,pa,b,p，求 a^b mod p。
输入格式
输入只有一行三个整数，分别代表 a,b,p。
输出格式
输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 a,b,p 分别为题目给定的值， s 为运算结果。
输入输出样例
输入 #1复制
2 10 9
输出 #1复制
2^10 mod 9=7
说明/提示
样例解释
2^10=1024,1024mod9=7。
数据规模与约定对于100% 的数据，保证 0≤a,b<2^ 31 a+b>0，2≤p<2^31

快速幂算法

a ^ n +a ^ m =a ^ m+n
a^n有两种情况，一种是n为偶数，一种是n为奇数

举个例子：
当要求3^100 0000次方的时候，2 ^ 1 = 2,2 ^ 2 = 4,…2 ^ 20 =1048576;
所以我们最多执行20次就够了

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iomanip>
#include <queue>
#include <list>
#include <stack>

using namespace std;
typedef long long ull;
ull a,b,p;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>a>>b>>p;
    ull x=1,bb=b,aa=a;
    while(b>0)
    {
		if(b%2==1)//如果是奇数就多乘一次
        {
			x *= a;
            x %= p;
    	}
        a*=a;
        a%=p;
		b=b/2;最后一定会变成 1
	}
    ull y=x%p;
    cout<<aa<<"^"<<bb<<" mod "<<p<<"="<<y<<endl;
    return 0;
}

继续普及python：

pow函数：pow(a,b,c) == a**b%c
ps:必须要用这个函数，自己手写不行，会超时

import math
a=input().split()
print(f'{a[0]}^{a[1]} mod {a[2]}={pow(int(a[0]),int(a[1]),int(a[2]))}')

二进制

64位整数乘法

求 a 乘 b 对 p 取模的值。
输入格式
第一行输入整数a，第二行输入整数b，第三行输入整数p。
输出格式
输出一个整数，表示a*b mod p的值。
数据范围
1≤a,b,p≤1018

这已经超过了 long long 的最大范围了
所以把 b写成二进制形式，然后如果某位上为1就加上它a*（2^n）次方，并且每次计算后取模就可以

例：计算 3 ^ 7
7的二进制 111
3*(2^0)=3
3*(2^1)=6
3*(2^2)=12

# include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,a,p,b,x;
int main()
{
    cin>>a>>b>>p;
    x=0;
    while(b>0)
    {
        if(b&1)
        {
            x=(x+a)%p;
        }
        a=a*2%p;
        b>>=1;
    }
    cout<<x<<endl;
    return 0;
}