Z变换及其逆变换

z变换
$$\sum _{n=n_1}^{n_2}{z}^n=\frac{z^{n_1}-z^{n_2+1}}{1-z}$$
逆变换

一.分数分解法

• 假分式：分子的最高次数大于分母的最高次数。
  例如：
  $$\frac{x^3+2x^2+3x+4}{x^2+2x+3}$$就是一个假分式。
• 假分式：分子的最高次数小于分母的最高次数。
  例如：
  $$\frac{x^2+2x+3}{x^3+2x^2+3x+4}$$就是一个真分式。
• 或者说，有理分式都可写成：$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\dots \dots +a_n}{b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\dots \dots +b_m}$
  若 n < m ，称为真分式；若 n > m 称为假分式。

1. 做多项式除法（将任意一个假分式变为一个真分式与有理整式之和）

例如：
$$\frac{x^4+2x^3-3x^2+5x-6}{x^2+3x-2}=x^2-x+2-\frac{3x+2}{x^2+3x-2}$$

方法可以用分式的长除法。
2. 分解有理函数（分解为四种最简分式的和）

四种最简分式分别为：
$$\frac{A}{x-a},\frac{B}{(x-a{)}^k},\frac{Cx+D}{x^2+px+q},\frac{Ex+F}{(x^2+px+q{)}^l}$$
先把分母多项式变成最简的多项式相乘形式，再拆成这些最简多相似分式之和。
其中系数，A,B,C,D,E,F 均可由待定系数法获得。

但，其实有更省事的办法：

• 实根代入法（求一次因式的单重因式的系数）
  即，求$$\frac{A}{x-a}$$的A

方法是
$$A=(x-a)\frac{P(x)}{Q(x)}{|}_{x=a}$$

道理很简单：
因为
$$\begin{array}{rl}& \frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A1}{x-a_1}+\frac{A2}{x-a_2}+\frac{A3}{x-a_3}+\frac{A4}{(x-a_4{)}^k}+\frac{Cx+D}{x^2+px+q}+\frac{Ex+F}{(x^2+px+q{)}^l}\\ & 则\\ & （x-a_1）\frac{P(x)}{Q(x)}=A1+\frac{A2（x-a_1）}{x-a_2}+\frac{A3（x-a_1）}{x-a_3}+\frac{A4（x-a_1）}{(x-a_4{)}^k}+\frac{Cx+D}{x^2+px+q}（x-a_1）+\frac{Ex+F}{(x^2+px+q{)}^l}（x-a_1）\\ & 此时，令x=a_1,\\ & 则A_1=（x-a_1）\frac{P(x)}{Q(x)}\end{array}$$
例如：
$$\begin{array}{rl}& 分解\frac{2x^2+3x-1}{x^3-x}=\frac{A_1}{x}+\frac{A_2}{x+1}+\frac{A_3}{x-1}\\ & A_1=x\frac{2x^2+3x-1}{x^3-x}{|}_{x=0}=1\\ & A_2=(x+1)\frac{2x^2+3x-1}{x^3-x}{|}_{x=-1}=-1\\ & A_3=(x-1)\frac{2x^2+3x-1}{x^3-x}{|}_{x=1}=2\\ & \frac{2x^2+3x-1}{x^3-x}=\frac{1}{x}+\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x-1}\end{array}$$

• 虚根代入法（求高次因式的单重因式的系数）
  即，求$$\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$$的C和D

方法是
$$Cx+D=(x^2+px+q)\frac{P(x)}{Q(x)}{|}_{x^2+px+q=0}$$

道理和实根代入法一样，条件写成多项式等式的形式，是因为，可以代入多个虚根中任意一个，也可以整个凑出来这个多项式再消掉（这个方法对于实根代入法也适用）
例如：
$$\begin{array}{rl}& \frac{x+9}{x^3+2x-3}=\frac{A}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^2+x+3},求Cx+D\\ & Cx+D=\frac{x+9}{x-1}{|}_{x^2+x+3=0}\\ & 由求根公式得x=\frac{-1\pm \sqrt{11}}{2},等号两边分别代入，虚部、实部分别对应求出C，D\\ & 或者Cx+D=\frac{x+9}{x-1}{|}_{x^2+x+3=0}=\frac{(x+9)(x+2)}{(x-1)(x+2)}{|}_{x^2+x+3=0}=\frac{(x^2+x+3)+10x+15}{(x^2+x+3)-5}{|}_{x^2+x+3=0}\\ & =-2x+3\\ & \frac{x+9}{x^3+2x-3}=\frac{A}{x-1}+\frac{-2x+3}{x^2+x+3}\\ A的求法用实根代入法就可了，不再赘述& \end{array}$$

• 齐次求极限法
• 导数法

二. 留数法

三.长除法

这个方法来源于Z变换定义。$X(z)={\sum }_{n=-\infty }^{+\infty }x(n)z^{-n}$
也就是数列x(n)的z变换就是以其自身为系数的z的数列和，或者说z的级数。那么，只要我们能把这个级数重新拆开成数列和的形式。我们就能看到这个数列的系数规律，而这个系数序列正是x(n)，我们把这个规律重新写出来就完事儿了。
具体如何操作，这里就涉及四个步骤。

• 判断序列类型
  首先判断当z趋向于无穷时，X(z)是否收敛。如果收敛，则为因果序列。如果不是因果序列，看z在什么范围内收敛。大于一个数收敛为右边序列（如果此数 大于或等于 0 ，则为因果序列）。小于一个数收敛为左边序列。在一个封闭区间收敛，为有限项序列。
• 长除法把X(z)重写成数列和的形式。
  同样两个多项式相除，一个式子颠倒一下顺序，可以得到正幂、负幂两种级数。

  x(n)序列类型	X(z)幂级数类型
  因果序列	负幂级数
  左边序列	正幂级数

• 按不同序列类型将数列和排序

  x(n)序列类型	X(z)数列和排序形式
  因果序列	降幂排列
  左边序列	升幂排律

• 发现系数规律，并写成x(n)的形式
  一定记得除了数值外，还要乘上u(什么n)来限定取值范围。
  如果是双边序列把X(z)拆成左边和右边，分别求解，再求和。