背包-笔记

背包的基本模型：
给你一个容量为V的背包和若干种物品，在一定的限制条件下（每种物品都占用一定容量），问最多能放多少价值的物品？

一、01背包

• 01背包（最基础的背包问题）
• 有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[ i ]，价值是w[ i ]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大？
• 问题特点：每件物品仅有一件，可以选择放或不放；
• 思考：在每个物品都有可能被选中的前提下，如何构造“子问题”？
• 无序变有序的方法：依次考虑前1、前2、前3…前i个物品;
• 状态定义：f [ i ][ v ]表示前i件物品放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。

问题分解：当前最优解，要么包含第i种物品，要么不包含第i种物品。和物品顺序没有关系，不需要排序。

二维数组实现，时间复杂度和空间复杂度都是O（N*V）：

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
	for(int j = 0; j <= v; j++)
	{
		if(j>=c[i])
		{
			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-c[i]] + w[i]);
		}
		else
			dp[i][j] = dp[i-1][j];
	}
}
cout << dp[n][v] << endl;

空间优化O(n):
一维数组，从后往前排，虽然还在同一行，但是没更新，前面的就是上一次的结果。如果顺序遍历，一种物品会被“ 取 ”好多次

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
	for(int j = v; j >= c[i]; j--)//没必要循环到0，体积小于c[i]当前物品一定放不下
	{
		dp[i] = max( dp[j], dp[j-c[i]] + w[i]);
	}
}
cout << dp[v] << endl;

完全背包

• 完全背包特点：一种物品可以取无数个
• 可否转化成01背包问题？
• 朴素的转化方式是？
• 回忆01背包为什么要对容量按照逆序循环？
• 和01背包类似，不过就是正着写！

for(int i = 0; i < v; i++)
{
	for(int j = 0; j < v; j++)
	{
		dp[v] = max(f[v], f[v-c[i]] + w[i]);
	}
}

深度思考：这类能不能达到的问题应该怎么实现？ 用-1初始化，如果剩余空间为-1，则表示无解，memset(dp,-1,sizeof(dp));

多重背包

• 多重背包特点：一种物品有C个（既不是固定的1个，也不是无数个）

	dp[i][v] = max(dp[i][v], dp[i-1][v-k*c[i]] + k*w[i]);

for(int i = 1; i <= n; i++)
{
	for(int j = v; j >= 0; j--)
	{
		for(int k = 0; k <= n[i]; k++)
		{
			if(j >= k*c[i])
			{
				dp[j] = max(dp[j-k*c[i]] + k*w[i], dp[j]);
			}
		}
	}
}

二维费用背包

• 对于每件物品，具有两种不同的费用；选择这件物品必须同时付出这两种代价；对于每种代价都有一个可付出的最大值（比如：背包容量、最大承重），求怎样选择物品可以得到最大的价值。
• 设第i件物品所需的两种代价分别为a[ i ]和b[ i ]，两种代价可付出的最大值（比如体积或重量）分别为V和U，物品的价值为w[ i ]。
• 对应算法：费用加了一维，只需状态也加一维即可！
• 设f [ i ][ v ][ u ]表示前i件物品付出两种代价分别为v和u时可获得的最大价值，状态转移方程则为：
• f [ i ][ v ][ u ] = max( f [ i-1 ][ v ][ u ], f [ i-1 ][ v-a[i] ][ u-b[i] ] + w[ i ]);