最大公约数最小公倍数问题的最简化数学解析

题目描述

输入两个正整数 x, y，求出满足下列条件的 P,Q 的个数：

P,Q 是正整数。

要求 P, Q 以 x为最大公约数，以 y为最小公倍数。

试求：满足条件的所有可能的 P,Q 的个数。

输入格式
一行两个正整数 x, y。

输出格式
一行一个数，表示求出满足条件的 P,Q 的个数。

输入输出样例
输入
3 60
输出
4

题目解析

假设P = ax，Q = bx , y = cP = dQ，(y>x)
由于x为P、Q最大公约数，y为P、Q最小公倍数，因此得到a,b互素且c,d互素。

将P、Q代入得到 cax = dbx，由此可知：
ac = bd =y/x 且 a,b互素 ； c,d互素

假设a、b、c、d都大于等于2，则由于a,b互素，有a整除d，同理可得d整除a。由此a = d， b = c。

因此，对于y/x大于等于2的因子，我们只要找到满足a*c = y/x且 a,c互素两个条件的值即可。

显然a = 1,c = y/x为一个通解。

当然，为了程序的健壮性，还需要考虑y < x和y = x的情况，这里比较简单，不展开赘述。

附上代码如下：

程序代码

#include<iostream>
#include<math.h>

using namespace std;

int ifsu(int a, int b)
{
	for (int i = 2; i <= a; i++)
	{
		if (b % i == 0 && a % i == 0)
			return 0;
	}
	return 1;
}

int main()
{
	int cnt=0;
	int x0, y0;
	cin >> x0 >> y0;
	if (y0 % x0 != 0)
		cout << 0 << endl;
	else if (x0 == y0)
		cout << 1 << endl;
	else
	{
		int r = y0 / x0;
		int t = (int)sqrt(r);
		for (int i = 1; i <= t; i++)
		{
			if (r % i == 0)
			{
				if (ifsu(i, r / i)==1)
					cnt++;
			}
		}
		cout << 2 * cnt << endl;
	}
	return 0;
}