相关系数 $\rho_{ij}$ 解释-优快云博客

公式中的符号含义

$\sigma_{ij}$ ：变量 $X_i$ 和 $X_j$ 之间的协方差（Covariance），计算公式：

$\sigma_{ij} = \mathbb{E}[(X_i - \mathbb{E}[X_i])(X_j - \mathbb{E}[X_j])]$

这表示 $X_i$ 和 $X_j$ 之间的共同变化趋势。
$\sigma_{ii}$ （或 $\sigma_i^2$ ）：变量 $X_i$ 的方差（Variance）：

$\sigma_{ii} = \text{Var}(X_i) = \mathbb{E}[(X_i - \mathbb{E}[X_i])^2]$

也就是 $X_i$ 自身的波动程度。
$\sigma_{jj}$ （或 $\sigma_j^2$ ）：变量 $X_j$ 的方差，类似于 $\sigma_{ii}$ 。

举个例子

假设有两个变量：

$X_1$ 是一个人的身高（cm）
$X_2$ 是这个人的体重（kg）

我们收集了 5 个人的数据：
$X_1 = [160, 170, 180, 175, 165]$
$X_2 = [55, 65, 75, 72, 60]$

计算均值：
$\mathbb{E}[X_1] = \frac{160 + 170 + 180 + 175 + 165}{5} = 170$
$\mathbb{E}[X_2] = \frac{55 + 65 + 75 + 72 + 60}{5} = 65.4$
计算方差：
$\sigma_{11} = \frac{(160 - 170)^2 + (170 - 170)^2 + (180 - 170)^2 + (175 - 170)^2 + (165 - 170)^2}{5}$

$\frac{(-10)^2 + 0^2 + 10^2 + 5^2 + (-5)^2}{5} = \frac{100 + 0 + 100 + 25 + 25}{5} = 50$

$\sigma_{22} = \frac{(55 - 65.4)^2 + (65 - 65.4)^2 + (75 - 65.4)^2 + (72 - 65.4)^2 + (60 - 65.4)^2}{5}$

计算后得 $\sigma_{22} = 46.24$ 。
计算协方差：
$\sigma_{12} = \frac{(160 - 170)(55 - 65.4) + (170 - 170)(65 - 65.4) + (180 - 170)(75 - 65.4) + (175 - 170)(72 - 65.4) + (165 - 170)(60 - 65.4)}{5}$

计算后得 $\sigma_{12} = 43.5$ 。
计算相关系数：
$\rho_{12} = \frac{\sigma_{12}}{\sqrt{\sigma_{11} \sigma_{22}}} = \frac{43.5}{\sqrt{50 \times 46.24}} = \frac{43.5}{\sqrt{2312}} = 0.9$

相关系数为 0.9，说明身高和体重高度正相关，较高的人往往体重大。

总结

相关系数 $\rho_{ij}$ 衡量变量 $X_i$ 和 $X_j$ 之间的线性相关性。
取值范围 $\leq \rho_{ij} \leq 1$ ：
- $\rho_{ij} > 0$ 表示正相关，数值越接近 1，相关性越强。
- $\rho_{ij} < 0$ 表示负相关，数值越接近 -1，相关性越强。
- $\rho_{ij} = 0$ 表示无线性相关性。
通过计算均值、方差、协方差，可以求得相关系数，用于分析数据之间的关系。

你可以用 Python 代码进行计算验证：

import numpy as np

X1 = np.array([160, 170, 180, 175, 165])
X2 = np.array([55, 65, 75, 72, 60])

rho = np.corrcoef(X1, X2)[0, 1]  # 计算相关系数
print(f"相关系数: {rho:.2f}")  # 结果应接近 0.9