条件概率表示法

详细解释 $P(X|\lambda )$ 和 $P(X|\mathcal{M},\lambda )$ 之间的区别 ，以及在 HMM 中如何知道 $Q$ 的存在。

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1. $P(X|\lambda )$ vs. $P(X|\mathcal{M},\lambda )$

通常，$\lambda$ 代表模型的参数，而 $\mathcal{M}$ 代表模型本身的结构，因此：

• $P(X|\lambda )$ 表示：

  在给定参数 $\lambda$（但未指定模型结构）下，观测序列 $X$ 发生的概率。

• $P(X|\mathcal{M},\lambda )$ 表示：

  在指定的模型 $\mathcal{M}$（如HMM）和参数 $\lambda$ 下，观测序列 $X$ 发生的概率。

$\mathcal{M}$ 是否存在取决于你是否在描述一个具体的概率模型：

• 在 HMM 中，$\mathcal{M}$ 代表隐马尔可夫模型结构（即它有隐藏状态 $Q$）。
• 在 简单的概率分布（如单一高斯分布）中，$\mathcal{M}$ 可能只表示数据的分布类型，不需要隐藏变量。

但在HMM 或其他带隐藏变量的模型中，通常我们必须对隐藏变量进行求和（边际化），因此：
$$P(X|\mathcal{M},\lambda )=\sum _{Q}P(X,Q|\mathcal{M},\lambda )$$

这表明我们在计算 $X$ 的概率时必须考虑所有可能的隐藏状态序列 $Q$。

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2. $P(X|{\lambda }_0)$ 容易计算？不需要考虑 $Q$？

不，在 HMM 里，计算 $P(X|{\lambda }_0)$ 仍然需要考虑 $Q$，因为隐藏状态 $Q$ 是不可观测的。

$$P(X|{\lambda }_0)=\sum _{Q}P(X,Q|{\lambda }_0)$$

但我们不能直接计算这个求和，因为 HMM 的状态数目可能指数级增长，例如如果有 $N$ 个状态，长度为 $T$ 的观测序列，所有可能的状态路径数是 $N^T$，直接求和不可行。因此，我们通常使用前向算法（Forward Algorithm） 计算这个边际概率 $P(X|{\lambda }_0)$，它的计算复杂度是 $O(N^{2}T)$，远远优于直接求和。

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3. 只给 $P(X|\mathcal{M},\lambda )$，为什么一定知道有 $Q$？

答案取决于模型 $\mathcal{M}$：

• 如果 $\mathcal{M}$ 是 HMM（或者 GMM、LDA 这些带隐变量的模型），那么我们知道它有隐藏变量 $Q$，所以计算 $P(X|\mathcal{M},\lambda )$ 必须对 $Q$ 进行求和。
• 如果 $\mathcal{M}$ 不是隐变量模型，比如简单的高斯分布 $X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$，那么 $P(X|\mathcal{M},\lambda )$ 就不需要求和，因为没有隐藏变量 $Q$。

在 HMM 里，我们知道 $Q$ 存在，所以：
$$P(X|\mathcal{M},\lambda )=\sum _{Q}P(X,Q|\mathcal{M},\lambda )$$
这是 HMM 结构决定的，而不是概率公式本身推导出来的。

换句话说，是否有 $Q$ 是模型的设定，而不是数学公式自动推导出来的。

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4. 直观理解

可以用一个比喻来帮助理解：

• 没有隐藏变量的情况（如高斯分布）：

  • 你在湖里钓鱼，你看到一条鱼，你可以直接计算这条鱼出现的概率（比如鱼的种类是均匀分布的）。
  • 这里你知道所有鱼的种类，不需要额外推测什么。

• 有隐藏变量的情况（如 HMM）：

  • 你在湖里钓鱼，但湖里有一些未知的鱼群，它们会在不同的深度活动（隐藏状态 $Q$）。
  • 你只看到水面上的鱼，但你不知道它们来自哪个鱼群。
  • 要计算某种鱼出现的概率，你必须考虑所有可能的鱼群的贡献，然后求和。
  • 这就是 HMM 里的 $Q$——一个你看不到的隐藏变量，但它影响了你观察到的数据。

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5. 总结

1. $P(X|\lambda )$ 和 $P(X|\mathcal{M},\lambda )$ 的区别：

   • $P(X|\mathcal{M},\lambda )$ 明确指定了 HMM 结构，所以一定涉及隐藏状态 $Q$。
   • $P(X|\lambda )$ 可能适用于更一般的情况，比如不一定是 HMM。

2. $P(X|{\lambda }_0)$ 计算仍然需要考虑 $Q$，只是我们用前向算法来高效求和。

   • 直接求和计算 $P(X|{\lambda }_0)$ 复杂度太高（$N^T$）。
   • 使用 前向算法（Forward Algorithm） 计算复杂度降低到 $O(N^{2}T)$。

3. 如何知道一定有 $Q$？

   • 不是从 $P(X|\mathcal{M},\lambda )$ 本身推出 $Q$，而是因为 HMM 这个模型本身定义了隐藏变量 $Q$。
   • 在 HMM 里，计算 $P(X|\lambda )$ 必须对所有可能的 $Q$ 求和：
     $$P(X|\lambda )=\sum _{Q}P(X,Q|\lambda )$$
   • 如果模型 $\mathcal{M}$ 不是 HMM（比如是普通的高斯分布），那么就不需要这个求和。

所以，是否需要求和取决于模型本身，而不是概率公式决定的。