P4875 [USACO14OPEN]Fair Photography G（哈希）

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P4875 [USACO14OPEN]Fair Photography G

哈希
题目大意为：给定数轴上 $n$ 头牛，每头牛拥有一个坐标 $x_i$ 与种类 $b_i$ ，一个区间合法当且仅当区间内出现了至少 $k$ 头牛且不同种类的牛出现的个数相同，求最长合法区间。其中牛的种类数 $m\le 8$ ，限制条件 $k\ge 2$ 。
对于区间类问题，一般常用枚举一端并快速判断另一端的方法。考虑到此题中的种类数 $m\le 8$ ，对于相同种类的牛，可以用一个前缀和数组来表示该类牛出现的信息，假设用数组 $su{m}_{i,j}$ 表示前 $i$ 头牛中 $j$ 类牛的总数，那么一个区间 $[l,r]$ 合法的条件即为：
对于所有在 $[l,r]$ 出现的 $j$ ，有 $su{m}_{r,j}-su{m}_{l-1,j}$ 相等。设改区间内出现的最小的种类 $j$ 为 $fi$ ，转换条件可得，对于所有在 $[l,r]$ 出现的 $j$ ，有 $su{m}_{r,j}-su{m}_{l-1,j}==su{m}_{r,fi}-su{m}_{l-1,fi}$ ，即 $su{m}_{r,j}-su{m}_{r,fi}==su{m}_{l-1,j}-su{m}_{l-1,fi}$ ，每个出现的种类 $j$ 在前缀中的数量与 $fi$ 在前缀中的数量相等。那么假设当前枚举到的右端点为 $i$ ，计算出所有的 $su{m}_{i,j}-su{m}_{i,fi}$ 后，我们只需知道所有出现种类相同且 $su{m}_{l,j}-su{m}_{l,fi}$ 与 $i$ 完全相等的最左位置 $l$ 即可，此时可更新答案为 $i-l$ 。
对于快速判断 $su{m}_{l,j}-su{m}_{l,fi}$ 的状态，考虑到 $m\le 8$ ，可以采用哈希的方式来快速表示一个状态，对于区间 $[l,i]$ 中出现的牛的种类，因为我们确定了右端点 $i$ ，那么考虑 $l$ 在向左移动时，区间内的牛种类数只会增加不会减少，因此我们可以记录每种种类的牛出现的最靠右的位置，每次端点 $l$ 向左移时按出现位置顺序将对应的种类放入哈希考虑的范围内，依次根据哈希值表示的位置更新答案即可。
对于哈希值的更新，相应的，在右端点 $i$ 移动时，每次会加入一头新的牛，假设与新加入牛最近的相同种类牛的位置为 $pre$ ，那么加入的牛只会改变区间 $[pre+1,i]$ 这一区间内的哈希值，由于总种类数 $m\le 8$ ，每次暴力修改即可，总次数不会超过 $8\ast n$ 。综上，加上查询的次数，总复杂度约为 $O(8^2\ast n)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ull=unsigned long long;
using pii=pair<int,int>;

constexpr ull base=997;
constexpr int N=1e5+5;

unordered_map<ull,int> app;
int n,m;
int pre[8];
int p[8];
int sum[N][8];
pii a[N];

ull calc(int s,int i){
    ull hs=0;
    int fi=7;
    for(int j=0;j<8;j++) if((s>>j)&1){
        fi=j;
        break;
    }
    for(int j=fi+1;j<8;j++) if((s>>j)&1) hs=hs*base+sum[i][j]-sum[i][fi];
    return hs;
}

int main(){
    iota(p,p+8,0);
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].first,&a[i].second),a[i].second--;

    sort(a+1,a+1+n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<8;j++) sum[i][j]+=sum[i-1][j];
        sum[i][a[i].second]++;
    }

    int ans=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        app[0]=a[i].first;
        for(int j=pre[a[i].second]+1;j<=i;j++){
            int s=0;
            for(int k=0;k<8;k++) if(sum[i-1][k]-sum[j-1][k]) s|=(1<<k);
            ull hs=calc(s,j-1);
            app.erase(hs);
            s|=(1<<a[i].second);
            hs=calc(s,j-1);
            if(!app.count(hs)) app[hs]=a[j].first;
        }
        pre[a[i].second]=i;
        sort(p,p+8,[&](const int &a,const int &b){
            return pre[a]>pre[b];
        });
        int s=0;
        for(int j=0;j<m-1;j++) s|=(1<<p[j]);
        for(int j=m-1;j<8&&pre[p[j]];j++){
            s|=(1<<p[j]);
            ull hs=calc(s,i);
            if(app.count(hs)) ans=max(ans,a[i].first-app[hs]);
        }
    }

    printf("%d",ans);

    return 0;
}