深度学习笔记3：矩阵计算和自动求导

矩阵计算

核心：如何求导数

标量导数

导数是切线的斜率

亚导数

不可微的函数

梯度

将导数拓展到向量

1：标量 2：向量 3：向量 4：矩阵

• 圈 2 表示：

例子：（梯度的方向是变化最大的方向）

• 圈 3 表示：

• 圈 4 表示：（拆分看）

拓展到矩阵

• 由 1 和 2 说明：如果向量、矩阵在分子，那行和列不会变化；如果是在分母，则要转置。
• 4 和 3 可以由 2 和 1 得来
• 5 是一个思维张量，（m，l，k，n）矩阵 y 在分子，前两项的行列不变，矩阵 x 在分母，后两项要发生转置

链式法则和自动求导

小结

• 导数可以被解释为函数相对于其变量的瞬时变化率，它也是函数曲线的切线的斜率。
• 梯度是一个向量，其分量是多变量函数相对于其所有变量的偏导数。
• 链式法则使我们能够微分复合函数。

自动求导

向量链式法则

• 标量链式法则

• 拓展到向量

例子1：（向量）

例子2：（矩阵）

自动求导

自动求导计算一个函数在指定值上的导数。

它有别于：

• 符号求导

• 数值求导

计算图

• 将代码分解成操作子

• 将计算表示成一个五环图

• 显示构造（Tensorflow/Theano/MXNet）

• 隐式构造（ PyTorch/MXNet）

自动求导的两种模式

反向累计总结

• 构造计算图
• 前向：执行图，存储中间结果
• 反向：从相反方向执行图（去除不需要的枝）

复杂度

反向累积：

• 计算复杂度：O(n)，n是操作子个数（通常正向和方向的代价类似）
• 内存复杂度：O(n)，因为需要存储正向的所有中间结果

正向累积：

• O(n)计算复杂度用来计算一个变量的梯度
• O(1)内存复杂度

代码实现（自动求导）：

假设我们想对函数y=2x^⊤x关于列向量x求导

import torch

x = torch.arange(4.0)
x

结果：tensor([0., 1., 2., 3.])

在我们计算y关于x的梯度之前，我们需要一个地方来存储梯度

x.requires_grad_(True)
x.grad

计算y

y = 2 * torch.dot(x, x)
y

结果：tensor(28., grad_fn=)

通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度

y.backward()
x.grad

结果：tensor([ 0., 4., 8., 12.])

x.grad == 4 * x

结果：tensor([True, True, True, True])

现在让我们计算x的另一个函数

x.grad.zero_() ##清除x的梯度值，也就是重新赋值为0
y = x.sum()
y.backward()
x.grad

结果：tensor([1., 1., 1., 1.])

深度学习中 ，我们的目的不是计算微分矩阵，而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和

x.grad.zero_()
y = x*x
y.sum().backward()
x.grad

结果：tensor([0., 2., 4., 6.])

将某些计算移动到记录的计算图之外

x.grad.zero_()
y = x * x
u = y.detach() #与clone差不多，但有区别
z = u * x

z.sum().backward()
x.grad == u

结果：tensor([True, True, True, True])

tensor.detach()：

返回一个新的tensor，从当前计算图中分离下来的，但是仍指向原变量的存放位置，不同之处只是requires_grad为false，得到的这个tensor永远不需要计算其梯度，不具有grad。

注意：使用detach返回的tensor和原始的tensor共同一个内存，即一个修改另一个也会跟着改变。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x

结果：tensor([True, True, True, True])

即使构建函数的计算图需要通过Python控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），我们仍然可以计算得到的变量的梯度

def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm() < 1000:
        b = b * 2
    if b.sum() > 0:
        c = b
    else:
        c = 100 * b
    return c

a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()

a.grad == d / a

结果：tensor(True)

隐式构造比显式构造在控制流上做得好