C++树学习笔记

C++树学习笔记

前言

对于大量的输入数据，链表的线性访问时间太长，不宜使用。对此我们定义一种新的数据结构——树，其大部分操作的运行时间平均为O(log N)。

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一、树

1.树的定义与树模型

一颗树是一些节点的集合，这个集合可以是空集，若不是空集，则树由称作根(root)的结点r以及零个或者多个非空的（子）树T1,T2…,Tk组成，这些子树中每一棵的根都被来自r的一条有向的边所连接。

每一棵子树的根叫做根r的儿子，而r是每一个子树的根的父亲。示意图如下：

所有的树都可以通过有数的上述结构组成，下面介绍一棵具体 的树，并讲解一些重要的概念：

• 根（root）： 每一颗树的根只有一个，上述A为根结点。
• 叶（leaf）： 没有儿子的结点称为叶节点，如图中的B、C、H、I等。
• 儿子（child）和父亲（parent）: B是A的儿子，A是 B的父亲
• 兄弟（siblings）： 具有相同父亲的节点称为兄弟，如图中的K、L、M。
• 祖父（grandparent）和 孙子（grandchild）: 类似的定义祖父和孙子。
• 路径（path）和长（length）: 从结点n1到结点n2的一个序列称为路径，如 ADH为A到H的一个路径，其路径的长度为边的数量，此时为2.
• 深度（depth）： 从根到某一结点的唯一路径的长。

2.树的实现

典型的树的声明如下：

struct treeNode
{
	ElemType data;
	treeNode* firstChild;   //指向第一个孩子
	treeNode* nextSibling;  //指向兄弟结点
}

说明：
对于一般的树而言，我们不知道一个父节点有多少个儿子，如果在结构体中增加第二个孩子、第三个孩子…这样的定义时，浪费空间不说还有可能无法与所有孩子产生连接（即当有大于n个孩子而只定义到n个孩子时），因此我们转变思维，用兄弟结点间接让父结点和孩子结点产生连接。下面举一个例子：

可知A是B、C、D、E、F、G的父结点，而只有B是通过firstChild指向的，其他的都是通过相邻的兄弟结点即nextSibling指向的。

建立一个简单的树测试一下：
代码如下（示例）：

//构建一个已经知道形状的树
/*形状如下：
*         A
*        /|\ 
*       B C D
*      / /|  
*     E F G 
**/
#include<iostream>
//#include"Tree.h"
using namespace std;
struct treeNode
{
	char data;
	treeNode* firstChild;
	treeNode* nextSibling;
	treeNode(char value,treeNode* firstChild1=nullptr,treeNode* nextSibling1=nullptr)
	{
		data = value;
		firstChild = firstChild1;
		nextSibling = nextSibling1;
	}
};

int main()
{
	treeNode* Root = new treeNode('A');
	treeNode* movePtr = Root;
	movePtr->firstChild = new treeNode('B');
	movePtr->firstChild->nextSibling = new treeNode('C');
	movePtr->firstChild->nextSibling->nextSibling = new treeNode('D');
	movePtr->firstChild->firstChild = new treeNode('E');
	movePtr->firstChild->nextSibling->firstChild = new treeNode('F');
	movePtr->firstChild->nextSibling->firstChild->nextSibling = new treeNode('G');

	//测试
	treeNode* testPtr = Root;
	int count = 0;
	cout << "根结点是：";
	cout << testPtr->data << endl;
	testPtr = testPtr->firstChild;
	while (testPtr != nullptr)
	{
		count++;
		cout << "结点" << Root->data << "的第" << count << "个儿子为：" <<testPtr->data<< endl;
		testPtr = testPtr->nextSibling;
	}

	return 0;
}

输出结果：

说明：上述代码只是简单的定义了一个一般的树，是在知道树的形状下的定义。

由于一般树的无序性，很多算法思想都不好实现，下面介绍一种常用的树——二叉树。

二、二叉树

1.二叉树的定义与相关概念

介绍了相关树的概念，下面讲讲在树中应用最广泛的二叉树。
二叉树（binary tree）是实行了计划生育的一般树，每个父结点的儿子结点都不能大于两个。如下图显示了一个简单的二叉树。

2.二叉树的实现

与上述的一般树类似，二叉树的实现如下：

struct binaryNode
{
	ElemType data;
	binaryNode* left;   //左孩子
	binaryNode* right;  //右孩子
}

3.二叉树的遍历（前序遍历、中序遍历、后序遍历、层次遍历）

二叉树有常用的四种遍历方式，分别为前序遍历、中序遍历、后续遍历、层次遍历。

前序遍历：根结点 —> 左子树 —> 右子树。
说明：从根结点开始输出根结点，然后是其左孩子，最后才是右孩子。

中序遍历：左子树—> 根结点 —> 右子树。
说明：从树的左孩子（根结点的左孩子的左孩子…）开始,然后输出该结点，最后输出它的右孩子。

后序遍历：左子树 —> 右子树 —> 根结点。
说明：对于当前结点，先输出它的左孩子，然后输出该结点，最后输出它的右孩子。

层次遍历：只需按层次遍历即可

以下图为例介绍几种遍历方法：

前序遍历： 5 2 1 4 3 8 7 （先父结点后右结点然后才是右结点）
（1）：输出 5，接着左孩子；
（2）：输出 2，接着左孩子；
（3）：输出 1，左右孩子都为空，回到2输出2的右孩子；
（4）：输出 4，接下来为左孩子；
（5）：输出 3，左右孩子都为空，2的左右子树都输出，则回到5输出5的右子树；
（6）：输出8，接下来为左孩子
（7）：输出7，结束。

中序遍历： 1 2 3 4 5 7 8 （核心思想：有左结点先输出左结点）
（1）：输出1，1无左右结点返回父结点2；
（2）：输出2，2有右结点4，结点4有左孩子3，3没有左孩；子，停止，输出3（若3有左孩子输出3的左孩子，一层层下去）；
（3）：输出3，回到4；
（4）：输出4，2的右子树输出完毕，回到5；
（5）：输出5，开始看5的右子树，同（2）可知输出7；
（6）：输出7；
（7）：输出8，结束。

后序遍历： 1 3 4 2 7 8 2 (核心思想：先左后右，父结点最后输出)
（1）：输出1，然后可知1没有左右结点，回到2开始输出2的右子树，到4发现4有孩子，先输出4的孩子后才是4且秉持先左后右原则；
（2）：输出3，4的左右子树输出完毕，然后输出4；
（3）：输出4，2的左右子树输出完毕，然后输出4，然后是5的右子树；
（4）：输出7；
（5）：输出8；
（6）：输出2，结束。

三、容器介绍与实战演练

1.STL容器之set和map

相关见：https://blog.youkuaiyun.com/ETalien_/article/details/89439892