1.
在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？
使用小学生方法。
千位为1或0，百位为2：
2
×
10
×
10
=
200
2\times 10\times 10=200
2×10×10=200
千位为1或0，百位不为2，十位为2：
2
×
9
×
10
=
180
2\times 9\times 10=180
2×9×10=180
千位为1或0，百位不为2，十位不为2：
2
×
9
×
9
=
162
2\times 9\times 9=162
2×9×9=162
共
200
+
180
+
162
=
542
200+180+162=542
200+180+162=542
2.
在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？
串内有6个1,1个0：5种
串内有5个1,2个0：在11111中有6个位置可选2个位置插入0，排除掉同时插在首尾的0111110，共
(
6
2
)
−
1
=
14
\binom{6}{2}-1=14
(26)−1=14
串内有4个1,3个0：若2个0连续，1个0不连续，在1111中，有
(
5
2
)
P
(
2
,
2
)
\binom{5}{2}P(2,2)
(25)P(2,2)种，但排除0开头/结尾的情况
4
×
2
=
8
4\times 2=8
4×2=8种，共
(
5
2
)
P
(
2
,
2
)
−
8
=
12
\binom{5}{2}P(2,2)-8=12
(25)P(2,2)−8=12种。若3个0不连续，在1111中共
(
5
3
)
−
1
\binom{5}{3}-1
(35)−1共9种
串内有3个1，其余全为0：必有子串1011或1101，可在1011或1101前插入1/2/3/4个0，其余0放在末尾，共
4
×
2
=
8
4\times 2=8
4×2=8种。
5+14+12+9+8=48
4.
n = 3 × 5 × 4 × 3 = 180 n=3\times 5\times 4\times 3=180 n=3×5×4×3=180
这180个数字的个位和： ( 2 + 4 + 6 ) × 60 = 720 (2+4+6)\times 60=720 (2+4+6)×60=720
十位和：
(
1
+
2
+
3
+
4
+
5
)
×
12
+
(
1
+
3
+
4
+
5
+
6
)
×
12
+
(
1
+
2
+
3
+
5
+
6
)
×
12
=
612
(1+2+3+4+5)\times 12+(1+3+4+5+6)\times 12+(1+2+3+5+6)\times 12=612
(1+2+3+4+5)×12+(1+3+4+5+6)×12+(1+2+3+5+6)×12=612
612
×
10
=
6120
612\times 10=6120
612×10=6120
百位和：
612
×
100
=
61200
612\times 100=61200
612×100=61200
千位和：
612
×
1000
=
612000
612\times 1000=612000
612×1000=612000
m
=
612000
+
61200
+
6120
+
720
=
680040
m=612000+61200+6120+720=680040
m=612000+61200+6120+720=680040
5.
从
{
1
,
2
,
.
.
.
,
7
}
\{1,2,...,7\}
{1,2,...,7}中选出5个不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数字有多少个？
没有1、2：
P
(
5
,
5
)
=
120
P(5,5)=120
P(5,5)=120
只有1：
P
(
5
,
4
)
×
5
=
600
P(5,4)\times 5=600
P(5,4)×5=600
只有2：
P
(
5
,
4
)
×
5
=
600
P(5,4)\times 5=600
P(5,4)×5=600
同时有1、2：设剩下3位为XXX，有
P
(
5
,
3
)
(
4
2
)
P
(
2
,
2
)
=
720
P(5,3)\binom{4}{2}P(2,2)=720
P(5,3)(24)P(2,2)=720(XXX有P(5,3)种,_X_X_X_的4个空位选2个有
(
4
2
)
\binom{4}{2}
(24)个，1和2排列有P(2,2)种)
总共有120+600+600+720=2040
6.
安排5个人去3个学校参观，每个学校至少1人，共有多少种安排方案？
原问题可以转化为：5个不同球放进3个不同盒子，不允许为空，有
3
!
S
(
5
,
3
)
3!S(5,3)
3!S(5,3)种
S
(
5
,
3
)
=
S
(
4
,
2
)
+
3
S
(
4
,
3
)
=
2
3
−
1
+
3
(
4
2
)
=
7
+
3
×
6
=
25
S(5,3) \\=S(4,2)+3S(4,3) \\=2^{3}-1+3\binom{4}{2} \\=7+3\times 6=25
S(5,3)=S(4,2)+3S(4,3)=23−1+3(24)=7+3×6=25
3 ! S ( 5 , 3 ) = 150 3!S(5,3)=150 3!S(5,3)=150
8.
有7种小球，每个小球内有1~7个星星。一次活动中，主办方随机发放礼品盒，每个盒里放两个这样的小球，那么共有多少种这样的礼品盒？
原问题可以转化为：把2个相同小球放到7个不同盒子里，允许空。共
(
2
+
7
−
1
2
)
=
28
\binom{2+7-1}{2}=28
(22+7−1)=28种
也可以使用无穷集合的
r
r
r组合，
n
=
7
n=7
n=7种小球的
2
2
2组合为
(
2
+
7
−
1
2
)
=
28
\binom{2+7-1}{2}=28
(22+7−1)=28
12.
设
S
=
{
n
1
⋅
a
1
,
n
2
⋅
a
2
,
.
.
.
,
n
k
⋅
a
k
}
S=\{n_1\cdot a_1,n_2\cdot a_2,...,n_k\cdot a_k\}
S={n1⋅a1,n2⋅a2,...,nk⋅ak},其中
n
1
=
1
n_1=1
n1=1，
n
2
+
n
3
+
.
.
.
+
n
k
=
n
n_2+n_3+...+n_k=n
n2+n3+...+nk=n，证明
S
S
S的圆排列个数等于
n
!
n
2
!
n
3
!
.
.
.
n
k
!
\frac{n!}{n_2!n_3!...n_k!}
n2!n3!...nk!n!
∑
i
=
1
k
n
i
=
n
+
1
\sum_{i=1}^kn_i=n+1
i=1∑kni=n+1
多重集合全排列数
(
n
+
1
)
!
1
!
n
2
!
n
3
!
.
.
.
n
k
!
\frac{(n+1)!}{1!n_2!n_3!...n_k!}
1!n2!n3!...nk!(n+1)!
共
n
+
1
n+1
n+1个元素，
(
n
+
1
)
(n+1)
(n+1)个元素圆排列数为全排列数除以元素总数
(
n
+
1
)
(n+1)
(n+1)
即：
(
n
+
1
)
!
1
!
n
2
!
n
3
!
.
.
.
n
k
!
/
(
n
+
1
)
=
n
!
n
2
!
n
3
!
.
.
.
n
k
!
\frac{(n+1)!}{1!n_2!n_3!...n_k!}/(n+1)=\frac{n!}{n_2!n_3!...n_k!}
1!n2!n3!...nk!(n+1)!/(n+1)=n2!n3!...nk!n!
30
证明：周长为
2
n
2n
2n,边长为整数的三角形个数等于
n
n
n的3分拆数。
满足：
x
+
y
+
z
=
n
x+y+z=n
x+y+z=n，则
2
(
x
+
y
+
z
)
=
2
n
2(x+y+z)=2n
2(x+y+z)=2n，其中
(
x
+
y
)
+
(
x
+
z
)
=
2
x
+
y
+
z
>
y
+
z
(x+y)+(x+z)=2x+y+z>y+z
(x+y)+(x+z)=2x+y+z>y+z
(
x
+
y
)
+
(
y
+
z
)
=
2
y
+
x
+
z
>
x
+
z
(x+y)+(y+z)=2y+x+z>x+z
(x+y)+(y+z)=2y+x+z>x+z
(
y
+
z
)
+
(
x
+
z
)
=
2
z
+
x
+
y
>
x
+
y
(y+z)+(x+z)=2z+x+y>x+y
(y+z)+(x+z)=2z+x+y>x+y
(
x
+
y
)
,
(
y
+
z
)
,
(
x
+
z
)
(x+y),(y+z),(x+z)
(x+y),(y+z),(x+z)可以组成三角形，周长为
2
n
2n
2n
设三角形周长为
2
n
2n
2n，边长分别为
a
,
b
,
c
a,b,c
a,b,c，
a
+
b
+
c
=
2
n
,
n
=
a
+
b
+
c
2
a+b+c=2n,n=\frac{a+b+c}{2}
a+b+c=2n,n=2a+b+c
则
x
=
n
−
a
,
y
=
n
−
b
,
z
=
n
−
c
x=n-a,y=n-b,z=n-c
x=n−a,y=n−b,z=n−c，
x
+
y
=
2
n
−
a
−
b
=
c
,
y
+
z
=
2
n
−
b
−
c
=
a
,
x
+
z
=
2
n
−
b
−
c
=
a
x+y=2n-a-b=c,y+z=2n-b-c=a,x+z=2n-b-c=a
x+y=2n−a−b=c,y+z=2n−b−c=a,x+z=2n−b−c=a
则满足
x
+
y
+
z
=
n
x+y+z=n
x+y+z=n的
n
n
n的三拆分
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)能构造出周长为
2
n
2n
2n的三角形。周长为
2
n
2n
2n的三角形个数为
n
n
n的3拆分数
31
n n n个人出去野炊，其中 r r r个人围一圈，另外 n − r n-r n−r个人围一圈，共有多少种不同的方案？
选 r r r个人共 ( n r ) \binom{n}{r} (rn)种方案， r r r个人圆排列为 r ! r = ( r − 1 ) ! \frac{r!}{r}=(r-1)! rr!=(r−1)!, ( n − r ) (n-r) (n−r)个人圆排列 ( n − r ) ! n − r = ( n − r − 1 ) ! \frac{(n-r)!}{n-r}=(n-r-1)! n−r(n−r)!=(n−r−1)!，
共 ( n r ) ( r − 1 ) ! ( n − r − 1 ) ! = n ! ( n − r ) r \binom{n}{r}(r-1)!(n-r-1)!=\frac{n!}{(n-r)r} (rn)(r−1)!(n−r−1)!=(n−r)rn!种方案。
32
把 n n n个不同颜色的小球放入 r r r个不同形状的盒子，恰好有一个空盒的方法有多少种？恰好有 m ( m < n ) m(m<n) m(m<n)个空盒的放法有多少种？
恰好有一个空盒，每个盒子都有可能是空盒，共 r r r个盒子。对 r − 1 r-1 r−1个盒子，问题转化为： n n n个球放 r − 1 r-1 r−1个盒子，不允许空盒，共 ( r − 1 ) ! S ( n , r − 1 ) (r-1)!S(n,r-1) (r−1)!S(n,r−1)种。两者相乘，共 r ! S ( n , r − 1 ) r!S(n,r-1) r!S(n,r−1)种。
恰好有 m m m个空盒，从 r r r个盒子中选 m m m个空盒，共 ( r m ) \binom{r}{m} (mr)种。对 r − m r-m r−m个盒子，问题转化为： n n n个球放 r − m r-m r−m个盒子，不允许空盒，共 ( r − m ) ! S ( n , r − m ) (r-m)!S(n,r-m) (r−m)!S(n,r−m)种。两者相乘，共 ( r m ) ( r − m ) ! S ( n , r − m ) \binom{r}{m}(r-m)!S(n,r-m) (mr)(r−m)!S(n,r−m)种。
33
一凸十边形内任意三条对角线不共点（即不相交于同一点），这些对角线被它们的交点分成多少条线段？
对角线数
(
10
2
)
−
10
=
35
\binom{10}{2}-10=35
(210)−10=35,交点数
(
10
4
)
=
210
\binom{10}{4}=210
(410)=210。
设第
i
i
i条对角线上交点数
n
i
n_i
ni，则线段有
n
i
+
1
n_i+1
ni+1条，
∑
i
=
1
35
(
n
i
+
1
)
=
∑
i
=
1
35
n
i
+
35
\sum_{i=1}^{35}(n_i+1)=\sum_{i=1}^{35}n_i+35
i=1∑35(ni+1)=i=1∑35ni+35
每个交点由2条对角线相交而成， ∑ i = 1 35 n i = 2 × 210 = 420 \sum_{i=1}^{35}n_i=2\times 210=420 ∑i=135ni=2×210=420
线段总数420+35=455
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