数字图像处理之【高斯金字塔】与【拉普拉斯金字塔】

数字图像处理之【高斯金字塔】与【拉普拉斯金字塔】

1.1 什么是高斯金字塔？

高斯金字塔（Gaussian Pyramid）是一种多分辨率图像表示方法，用于图像处理和计算机视觉领域。它通过对原始图像进行一系列的高斯平滑和下采样操作，生成一组分辨率逐渐降低的图像层次结构。

高斯金字塔的构建过程通常包括以下步骤：

1. 高斯平滑（Gaussian Smoothing）：对原始图像应用高斯滤波器，生成一个平滑后的图像。高斯滤波器是一种低通滤波器，用于减少图像中的高频噪声。

2. 下采样（Downsampling）：将平滑后的图像进行下采样，通常是将图像的宽度和高度各减半，得到较低分辨率的图像。

3. 重复上述步骤：对下采样后的图像重复高斯平滑和下采样过程，直到达到预定的分辨率级别。每一个新生成的图像称为一个金字塔层。

1.2 什么是拉普拉斯金字塔？

拉普拉斯金字塔（Laplacian Pyramid）是基于高斯金字塔的多分辨率图像表示方法，用于图像处理和计算机视觉领域。它通过从高斯金字塔中提取（高频）细节信息，形成一系列细节图像的层次结构。拉普拉斯金字塔可以用于图像压缩、图像增强和图像融合等任务。

构建拉普拉斯金字塔的过程通常包括以下步骤：

1. 构建高斯金字塔：首先，通过高斯平滑和下采样操作构建高斯金字塔。

2. 生成拉普拉斯金字塔层：

   • 从高斯金字塔的每一层生成下一层（低分辨率层）后，将下一层上采样（通常是通过插值方法将图像的宽度和高度各加倍）回到当前层的分辨率。
   • 计算当前层与上采样后的图像的差值，得到当前层的拉普拉斯层。

3. 重复上述步骤：对高斯金字塔的每一层重复生成拉普拉斯层的过程，直到达到最底层。

1.3 示意图

从图中我们可以得到什么信息？拉普拉斯金字塔图像=原图的高频信息。

因此如果我们想回复原图，是不是只要用拉普拉斯金字塔图像加上上采样后的图像就能得到？我想应该是的。但是用文字描述我认为过于繁琐，我们用数学公式来进行清晰的表达。

设${\mathrm{L}}_{\mathrm{n}}$为拉普拉斯金字塔的第$\mathrm{n}$层（自底向上），${\mathrm{G}}_{\mathrm{n}}$为高斯金字塔的第$\mathrm{n}$层（自底向上），$\mathrm{GaussBlur}$为高斯平滑函数，$\mathrm{pyrDown}$为下采样函数，$\mathrm{pyrUp}$为上采样函数，则有
G n + 1 = p y r D o w n ( G a u s s B l u r ( G n ) ) L n = G n − p y r U p ( p y r D o w n ( G a u s s B l u r ( G n ) ) ) G n = L n + p y r U p ( p y r D o w n ( G a u s s B l u r ( G n ) ) ) \begin{aligned} &\mathrm {G_{n+1}=pyrDown(GaussBlur(G_n))}\\ &\mathrm {L_n=G_{n}-pyrUp(pyrDown(GaussBlur(G_n)))}\\ &\mathrm {G_n=L_n+pyrUp(pyrDown(GaussBlur(G_n)))} \end{aligned}