概率论与数理统计（5）

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切比雪夫不等式

设随机变量X的期望EX和方差DX存在，则对任意的$\epsilon >0$，总有
P { ∣ X − E X ∣ ≥ ε } ≤ D X ε 2 P\{|X-EX|\ge\varepsilon\}\le{DX \over \varepsilon^2} P{∣X−EX∣≥ε}≤ε2DX​

依概率收敛

设$X_1,X_2,....,X_n,...$是一个随机变量序列,A是一个常数，如果对任意$\epsilon >0$，有
lim ⁡ n → + ∞ P { ∣ X n − A ∣ < ε } = 1 , \lim\limits_{n\to{+\infin}}P\{|X_n-A|<\varepsilon\}=1, n→+∞lim​P{∣Xn​−A∣<ε}=1,
则称随机变量序列$X_1,X_2,....,X_n,...$依概率收敛与常数A，记作$X_n\stackrel{P}{\to }A$

依分布收敛

设$X_1,X_2,....,X_n,...$是一个随机变量序列，X的分布函数是F(x),$X_n$的分布函数是$F_n(x),$若
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{F}_n(x)=F(x)$$
则称序列$X_1,X_2,....,X_n,...$依分布收敛与X，记为$X_n\stackrel{F}{\to }X$

大数定律

切比雪夫大数定律

伯努利大数定律

辛钦大数定律

中心极限定理

棣莫弗-拉普拉斯定理

$\varphi (x)$是标准正态分布函数。

列维-林德伯格定理

$\varphi (x)$是标准正态分布函数。