Acwing春季每日一题 混合牛奶(朴素做法和优化做法)

$感谢大佬们的点赞Orz$

题目描述

农业，尤其是生产牛奶，是一个竞争激烈的行业。

Farmer John 发现如果他不在牛奶生产工艺上有所创新，他的乳制品生意可能就会受到重创！

幸运的是，Farmer John 想出了一个好主意。

他的三头获奖的乳牛，Bessie、Elsie 和 Mildred，各自产奶的口味有些许不同，他打算混合这三种牛奶调制出完美的口味。

为了混合这三种不同的牛奶，他拿来三个桶，其中分别装有三头奶牛所产的奶。

这些桶可能有不同的容积，也可能并没有完全装满。

然后他将桶 $1$ 的牛奶倒入桶 $2$，然后将桶 $2$ 中的牛奶倒入桶 $3$，然后将桶 $3$ 中的牛奶倒入桶 $1$，然后再将桶 $1$ 的牛奶倒入桶 $2$，如此周期性地操作，共计进行 $100$ 次（所以第 $100$ 次操作会是桶 $1 $倒入桶 $2$）。

当 Farmer John 将桶 $a$ 中的牛奶倒入桶 $b$ 时，他会倒出尽可能多的牛奶，直到桶 $a$ 被倒空或是桶 $b$ 被倒满。

请告诉 Farmer John 当他倒了 $100$ 次之后每个桶里将会有多少牛奶。

输入格式

输入文件的第一行包含两个空格分隔的整数：第一个桶的容积 $c_1$，以及第一个桶里的牛奶量 $m_1$。

第二和第三行类似地包含第二和第三个桶的容积和牛奶量。

输出格式

输出三行，给出倒了 $100$ 次之后每个桶里的牛奶量。

数据范围

$1\le c_1,m_1\le 10^9$

输入样例

10 3
11 4
12 5

输出样例

0
10
2

样例解释

在这个例子中，每倒一次之后每个桶里的牛奶量如下：

初始状态：   3  4  5
1. 桶1->2：  0  7  5
2. 桶2->3：  0  0  12
3. 桶3->1：  10 0  2
4. 桶1->2：  0  10 2
5. 桶2->3：  0  0  12
（之后最后三个状态循环出现……）

---

算法1

(朴素版暴力迭代模拟) $O(1)$

• 读入3个桶的容积和牛奶量

• 从第一个桶开始idx = 1，则下一个桶next = (idx + 1) % 4 ? idx + 1 : 1
  

• 设下一个桶为$next$,则$next$桶的容积为$next(v)$,$next$桶的牛奶量为$next(w)$,则有
  
  

时间复杂度：$O(1)$

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;//容积,牛奶量

PII a[4];

int main()
{
    for (int i = 1; i <= 3 ; i++ )//读入3个桶的容积和牛奶量
    {
        int x, b;
        scanf("%d%d", &x, &b);
        a[i] = {x, b};
    }
    
    int idx = 1;//记录一下从第一个桶开始
    for (int i = 0; i < 100; i ++ )//迭代100次
    {
        int next = (idx + 1) % 4 ? idx + 1 : 1;//应该往哪个桶倒idx->next
        int v = a[next].first;//查看一下next桶的容积
        int w = a[next].second;//查看一下next桶的牛奶量
        if (v == w)//如果next桶的容积等于牛奶量了,说明不需要再倒牛奶了~
        {
            
        }
        else if (a[idx].second + w <= v)//如果idx桶的牛奶量与next桶的牛奶量要小于next桶的容积
        {
            a[next].second = a[idx].second + w;//更新next桶的牛奶量
            a[idx].second = 0;//idx桶的牛奶量为0
        }
        else //如果idx桶的牛奶量与next桶的牛奶量要大于next桶的容积
        {
            a[idx].second -= v - w;//更新idx桶的剩余的牛奶量
            a[next].second = v;//next桶的牛奶量则为其容积
        }
        idx = next;//idx桶指向下一个桶(next)
    }
    
    for (int i = 1; i <= 3; i ++ )//输出迭代100次的答案~
        printf("%d\n", a[i].second);
    
    return 0;
}

---

算法2

(找环进行优化操作)

由我们的样例解释可知

初始状态：   3  4  5
1. 桶1->2：  0  7  5
2. 桶2->3：  0  0  12
3. 桶3->1：  10 0  2
4. 桶1->2：  0  10 2
5. 桶2->3：  0  0  12
（之后最后三个状态循环出现……）

可以找到一个$环$，使得只用计算后续$经过多少个环$后$再经过多少步得到的最终状态$~
如下图所示：

我们只需要用一个字符串记录三个桶牛奶量的状态，利用map看之前是否出现过，出现过的话，我们就找到了一个环_{直接退出循环，计算经过``p``圈后还需走多少步达到100次，最终输出答案即可}
这样我们就不用枚举100次了~

C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;//容积,牛奶量

PII a[4];
unordered_map<string, int> state;
int r;
string s;

int main()
{
    for (int i = 1; i <= 3 ; i++ )
    {
        int x, b;
        scanf("%d%d", &x, &b);
        a[i] = {x, b};
    }
    
    int idx = 1;
    for (int i = 1; i <= 100; i ++ )
    {
        int next = (idx + 1) % 4 ? idx + 1 : 1;
        int v = a[next].first;
        int w = a[next].second;
        if (v == w)
        {
            
        }
        else if (a[idx].second + w <= v)
        {
            a[next].second = a[idx].second + w;
            a[idx].second = 0;
        }
        else 
        {
            a[idx].second -= v - w;
            a[next].second = v;
        }
        idx = next;
        
        /*上方的注释请看朴素版的算法~*/
        
        //合成一下状态(桶1的牛奶量, 桶2的牛奶量, 桶3的牛奶量)
        s = to_string(a[1].second) + " " +  to_string(a[2].second) + " " + to_string(a[3].second);
        
        if (!state.count(s))//如果该状态在之前没有，则插入该状态
            state[s] = i;
        else //若有,则找到环的大小,并退出循环
        {
            r = (100 - i) % (i - state[s]);
            break;
        }
    }
    
    int x = state[s] + r ? state[s] + r : 1;//找到最终状态的位置~

    for (auto t : state)//找到最终状态`
        if (t.second == x)
        {
            s = t.first;
            break;
        }
    
    //处理一下输出结果~   
    int t = s.find(' ');
    for (int i = 0; i < t; i ++ ) printf("%c", s[i]);
    s[t] = '.';
    puts("");
    
    int p = s.find(' ');
    for (int i = t + 1; i <= p; i ++ ) printf("%c", s[i]);
    s[p] = '.';
    puts("");
    
    int len = s.length();
    for (int i = p + 1; i < len; i ++ ) printf("%c", s[i]);
    puts("");
    
    return 0;
}