本文探讨了平面方程的原理，指出法向量在确定平面方程中的作用，并通过实例解析如何求解平面方程。同时，阐述了线性方程组在三维空间中对应三个平面交点的几何概念，分析了不同情况下线性方程组解的存在性和唯一性，强调了行列式为零时矩阵无逆的情况对解的影响。
1.平面方程
我们知道ax+by+cz=d类似这样的方程是平面方程，but，why?
例1：求一个平面方程，其法向量N为<1,5,7>,且平面过原点。
解：在平面上任意找一点P（x，y，z），设原点为O，则
O
P
→
⋅
N
→
=
0
\overrightarrow{OP} \cdot\overrightarrow{N}=0
OP⋅N=0
即
x
+
5
y
+
7
z
=
0
x+5y+7z=0
x+5y+7z=0
例2：求一个平面方程，其法向量N为<1,5,10>,且平面过 P 1 = ( 2 , 1 , − 1 ) P_{1}=(2,1,-1) P1=(2,1,−1)。
解：同样的，在平面上任意找一点P（x，y，z），则
P
1
P
→
⋅
N
→
=
0
\overrightarrow{P_{1}P} \cdot\overrightarrow{N}=0
P1P⋅N=0
即
<
x
−
2
,
y
−
1.
z
+
1
>
⋅
<
1
,
5
,
10
>
=
0
<x-2,y-1.z+1>\cdot<1,5,10>=0
<x−2,y−1.z+1>⋅<1,5,10>=0
化简得到
x
+
5
y
+
10
z
=
−
3
x+5y+10z=-3
x+5y+10z=−3
通过上述两例，我想大家已经发现， a x + b y + c z = d ax+by+cz=d ax+by+cz=d中的a，b，c是平面的法向量，而d在平面过原点时为0，不过原点时为其他数值。
2.借助平面方程思考线性方程组（三维）的几何意义
其实，我们解3*3的方程组，就是找三个平面的交点。
{
x
+
2
y
+
3
z
=
1
2
x
+
y
+
2
z
=
0
3
x
+
3
y
+
1
z
=
2
\left\{ \begin{array}{c} x+2y+3z=1 \\ 2x+y+2z=0 \\ 3x+3y+1z=2 \end{array} \right.
⎩⎨⎧x+2y+3z=12x+y+2z=03x+3y+1z=2
假设前两个平面交于一条直线，那么第三个平面就有这么几种情况。
- 第三个平面与交线相交于一点 有一个解
- 第三个平面与交线平行 无解
- 交线在第三个平面上 无数个解
不考虑这个假设，还有一种情况，就是三个平面如果是重合的，那么这个平面上的点都是解 这种情况也是无数个解
这样来看，我们在上一个文章里面这样来解似乎有问题：
A
X
=
B
AX=B
AX=B
X
=
A
−
1
B
X=A^{-1}B
X=A−1B
因为A的逆矩阵唯一，B唯一，那么X应该只有一个解。
那么，到底是哪里出了问题呢？
原因出在这个A的逆矩阵上面，
当A的行列式为0时，矩阵A没有逆矩阵
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