洛谷-动态规划-疯狂的采药python

P1616 疯狂的采药

题目背景

此题为纪念 LiYuxiang 而生。

题目描述

LiYuxiang 是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是 LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

$1$. 每种草药可以无限制地疯狂采摘。

$2$. 药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入格式

输入第一行有两个整数，分别代表总共能够用来采药的时间 $t$ 和代表山洞里的草药的数目 $m$。

第 $2$ 到第 $(m+1)$ 行，每行两个整数，第 $(i+1)$ 行的整数 $a_i,b_i$ 分别表示采摘第 $i$ 种草药的时间和该草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例 #1

输入 #1

70 3
71 100
69 1
1 2

输出 #1

140

说明/提示

数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $m\le 10^3$ 。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le m\le 10^4$，$1\le t\le 10^7$，且 $1\le m\times t\le 10^7$，$1\le a_i,b_i\le 10^4$。

t , m = map(int,input().split())
a = []
dp = [0] * (t+1)
for i in range(m):
    time , value = map(int ,input().split())
    a.append((time , value))
# 如果只有一种草药    
if m == 1:
    time, value = a[0]
    max_count = t // time  # 最大可以选择多少次
    print(max_count * value)  # 输出总价值
else: # 对于多种草药，使用标准的动态规划方法   
    for time, value in a:
        for j in range(time,t+1):
            dp[j] = max( dp[j] , dp[j - time] + value )
    print(dp[t])

代码说明

• 针对数据中的特殊输入，如下，如果不进行处理，会造成内存溢出的异常，

3794898 1
6041 3102

• 所以在状态转移方程前，添加if判断，检测是否只有一种草药。

状态方程定义

dp[i]：表示在时间为 i 时，能够获得的最大价值。

每次遍历草药：

对于每种草药 (time, value)，我们从 time 到 t 的每个时间点更新 dp[i]。
状态转移方程为：

dp[i] = max(dp[i], dp[i - time] + value)

最终结果：
最终的答案是 dp[t]，即用最多 t 时间时能够获得的最大价值。