LeetCode Hot100【回溯-22. 括号生成】

题目：22. 括号生成

代码实现

class Solution {
public:
    vector<string> result;  // 存储所有有效的括号组合
    string path;            // 当前生成的括号组合

    // 回溯函数，n 为生成括号对数，left 和 right 分别为左括号和右括号的数量
    void backtracking(int n, int left, int right) {
        if (path.size() == n * 2) {  // 如果当前路径长度等于 2 * n，说明已经生成了一个有效组合
            result.push_back(path);  // 保存当前的组合
            return;
        }

        // 如果左括号的数量小于 n，继续添加左括号
        if (left < n) {
            path.push_back('(');
            backtracking(n, left + 1, right);  // 递归，增加左括号
            path.pop_back();  // 回溯，撤销选择
        }

        // 如果右括号的数量小于左括号，继续添加右括号
        if (right < left) {
            path.push_back(')');
            backtracking(n, left, right + 1);  // 递归，增加右括号
            path.pop_back();  // 回溯，撤销选择
        }
    }

    // 主函数，生成所有有效的括号组合
    vector<string> generateParenthesis(int n) {
        result.clear();
        path.clear();
        backtracking(n, 0, 0);  // 从左括号和右括号都为 0 开始
        return result;
    }
};

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执行流程

示例输入

n = 3

回溯生成过程

• n = 3，生成 3 对括号的所有有效组合。

生成过程（树形结构）：
→ "(" → "(" → "(" (Left = 3, Right = 0) → ")" → "(()"
                    → ")" → "(()()"
                          → ")" → "(()())"
→ "(" → "(" → ")" (Left = 2, Right = 1) → ")" → "(())"
                          → ")" → "(())()"

最终输出

["((()))", "(()())", "(())()", "()(())", "()()()"]

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关键思路

1. 回溯法的框架
   • 当前字符串长度为 2 * n 时，说明生成了一个有效的组合，加入结果集。
   • 递归过程中，控制左括号和右括号的数量，确保始终有足够的右括号与左括号匹配。
2. 合法的括号组合规则
   • 在生成括号时，左括号的数量不能超过 n，右括号的数量不能超过左括号的数量。
   • 使用两个变量 left 和 right 分别记录当前生成的左括号和右括号的数量。
3. 回溯操作
   • 每次递归时通过 push_back() 添加括号，并在递归后通过 pop_back() 撤销选择。
4. 终止条件
   • 如果当前字符串的长度已经是 2 * n，说明已经完成了一个有效组合，将其加入 result。

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时间 & 空间复杂度

操作	时间复杂度	空间复杂度
生成所有组合	O(4n/√n)	O(n)

• 时间复杂度： 生成括号组合的问题可以通过卡特兰数来表示，时间复杂度为 O(4ⁿ/\sqrt{n})，其中 n是括号对数。
• 空间复杂度： 由于使用了递归和保存路径，空间复杂度为 O(n)。

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基础语法解析

1. path.push_back('(') 和 path.push_back(')')

• 选择左括号和右括号，每次递归时决定是否添加左括号或右括号。

path.push_back('(');
path.push_back(')');

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2. backtracking(n, left + 1, right) 和 backtracking(n, left, right + 1)

• 递归调用，根据当前条件递归生成子问题。
  • left + 1：增加左括号数量；
  • right + 1：增加右括号数量。

backtracking(n, left + 1, right);  // 加入左括号
backtracking(n, left, right + 1);  // 加入右括号

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3. path.pop_back()

• 回溯操作，撤销最近一次的选择，即移除最后加入的括号。

path.pop_back();  // 回溯，撤销当前括号的选择

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优化 & 变种

变种 1：给定字符集生成有效括号

如果给定的字符集是 {, }, (, )，可以通过相同的回溯思想生成有效的括号组合。只需要替换括号的符号即可。

void generateParenthesis(int n) {
    string path;
    generateBrackets(n, 0, 0, path);  // 替换括号符号进行回溯
}

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总结

C++ 语法 / 结构	作用
path.push_back('(')	选择左括号，递归
path.push_back(')')	选择右括号，递归
path.pop_back()	回溯，撤销当前选择
时间复杂度： O(4^n / √n)	生成所有组合的时间复杂度
空间复杂度： O(n)	存储当前路径的空间