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幂零性是一种代数性质，使得在多次自乘后得到零。在对偶数中，对偶数单位ϵ\epsilonϵ的幂零性ϵ20ϵ20带来了计算的简化。这一性质在代数和应用数学的多个领域都有重要的应用。PdP(d)Pd提取的是不含对偶数单位ϵ\epsilonϵ的部分，即主部分。DdD(d)Dd提取的是包含对偶数单位ϵ\epsilonϵ的部分的系数，即双重部分。

每个四元数都是一个双四元数，但并非所有双四元数都是四元数。请参考 [1] 的第 2.2 节，尤其是方程 (2.2.1) 后的解释。四元数是复数在四维空间的扩展，它包含一个实部和三个不同的虚数单位。四元数被广泛应用于三维空间中的旋转计算，比如计算物体的旋转和方向，这使它在计算机图形学、物理模拟和机器人学等领域非常有用。我在该理论领域有超过 15 年的经验，相信如果你现在没有打好基础，以后会遇到很多会让你吃苦的知识漏洞。这意味着复数可以看作是四元数的一种特殊情况，当。为零时，四元数就退化为复数。

分析一个离散时间系统的可控性。x˙AxBuxk1​Gxk​Huk​其中，离散化后的系统矩阵G和H可以通过如下方式获得（假设采样时间为Ts​GeATs​H∫0Ts​​eAτdτB。