数字PID控制

数字式 PID 控制算法可以分为位置式 PID 和增量式 PID 控制算法。

位置式 PID 算法

由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差计算控制量，而不能像模拟控制那样连续输出控制量量，进行连续控制。由于这一特点（式 1）中的积分项和微分项不能直接使用，必须进行离散化处理。离散化处理的方法为：以T 作为采样周期，作为采样序号，则离散采样时间 对应着连续时间，用矩形法数值积分近似代替积分，用一阶后向差分近似代替微分，可作如下近似变换：

上式中，为了表示的方便，将类似于e(kT )简化成ek 等。

将（式1）代入，就可以得到离散的 PID 表达式为

（式2）

（式3）

其中 k ―― 采样序号， k ＝0，1，2，……；

uk ―― 第 k 次采样时刻的计算机输出值；

ek ―― 第 k 次采样时刻输入的偏差值；

ek－1 ―― 第 k －1 次采样时刻输入的偏差值；

Ki ――积分系数， Ki＝Kp *T /Ti ；

Kd ――微分系数， Kd＝Kp *Td /T

如果采样周期足够小，则（式2）或（式3）的近似计算可以获得足够精确的结果，离散控制过程与连续过程十分接近。

（式2）或（式3）表示的控制算法式直接按（式 1）所给出的 PID 控制规律定义进行计算的，所以它给出了全部控制量的大小，因此被称为全量式或位置式 PID 控制算法。

这种算法的缺点是：由于全量输出，所以每次输出均与过去状态有关，计算时要对ek 进行累加，工作量大；并且，因为计算机输出的uk对应的是执行机构的实际位置，如果计算机出现故障，输出的uk将大幅度变化，会引起执行机构的大幅度变化，有可能因此造成严重的生产事故，这在实生产际中是不允许的。

增量式 PID 控制算法可以避免着重现象发生。

增量式 PID 算法

所谓增量式 PID 是指数字控制器的输出只是控制量的增量 ∆uk 。当执行机构需要的控制量是增

量，而不是位置量的绝对数值时，可以使用增量式 PID 控制算法进行控制。

增量式 PID 控制算法可以通过（式2）推导出。由（式2）可以得到控制器的第 k－1个采样时刻的输出值为：

(式4)

将（式2）与（式4）相减并整理，就可以得到增量式 PID 控制算法公式为：

(式5)

其中

由（式5）可以看出，如果计算机控制系统采用恒定的采样周期T ，一旦确定 A、B、C，只要使用前后三次测量的偏差值，就可以由（式 2－5）求出控制量。

增量式 PID 控制算法与位置式 PID 算法（式 2）相比，计算量小的多，因此在实际中得到广泛的应用。

而位置式 PID 控制算法也可以通过增量式控制算法推出递推计算公式：

uk＝uk－1＋∆uk（式6）

（式6）就是目前在计算机控制中广泛应用的数字递推 PID 控制算法。

控制器参数整定

控制器参数整定：指决定调节器的比例系数 Kp 、积分时间Ti 、微分时间Td 和采样周期Ts 的具体数值。整定的实质是通过改变调节器的参数，使其特性和过程特性相匹配，以改善系统的动态和静态指标，取得最佳的控制效果。

整定调节器参数的方法很多，归纳起来可分为两大类，即理论计算整定法和工程整定法。理论

计算整定法有对数频率特性法和根轨迹法等；工程整定法有凑试法、临界比例法、经验法、衰减曲

线法和响应曲线法等。工程整定法特点不需要事先知道过程的数学模型，直接在过程控制系统中进

行现场整定方法简单、计算简便、易于掌握。

凑试法

按照先比例（P）、再积分（I）、最后微分（D）的顺序。 置调节器积分时间Ti =∞，微分时间Td =0，在比例系数 Kp按经验设置的初值条件下，将系统投入运行，由小到大整定比例系数 Kp。求得满意的 1/4 衰减度过渡过程曲线。

引入积分作用（此时应将上述比例系数 Kp 设置为 5/6 Kp ）。将Ti 由大到小进行整定。若需引入微分作用时，则将Td 按经验值或按Td =（1/3～1/4）Ti 设置，并由小到大加入。

临界比例法

在闭环控制系统里，将调节器置于纯比例作用下，从小到大逐渐改变调节器的比例系数，得到等幅振荡的过渡过程。此时的比例系数称为临界比例系数Ku，相邻两个波峰间的时间间隔，称为临界振荡周期Tu 。

临界比例度法步骤：

1、将调节器的积分时间Ti 置于最大（Ti =∞），微分时间置零（Td =0），比例系数Kp适当，

平衡操作一段时间，把系统投入自动运行。

2、将比例系数 Kp 逐渐增大，得到等幅振荡过程，记下临界比例系数 Ku 和临界振荡周期Tu 值。

3、根据 Ku 和Tu 值，采用经验公式，计算出调节器各个参数，即 Kp 、Ti 和Td 的值。按“先 P 再 I 最后 D”的操作程序将调节器整定参数调到计算值上。若还不够满意，可再作进一步调整。

临界比例度法整定注意事项：

有的过程控制系统，临界比例系数很大，使系统接近两式控制，调节阀不是全关就是全开，对工业生产不利。

有的过程控制系统，当调节器比例系数 调到最大刻度值时，系统仍不产生等幅振荡，对此，就把最大刻度的比例度作为临界比例度 进行调节器参数整定。

经验法

用凑试法确定 PID 参数需要经过多次反复的实验，为了减少凑试次数，提高工作效率，可以借鉴他人的经验，并根据一定的要求，事先作少量的实验，以得到若干基准参数，然后按照经验公式，用这些基准参数导出 PID 控制参数，这就是经验法。

临界比例法就是一种经验法。这种方法首先将控制器选为纯比例控制器，并形成闭环，改变比例系数，使系统对阶跃输入的响应达到临界状态，这时记下比例系数 Ku 、临界振荡周期为Tu ，根据 Z－N 提供的经验公式，就可以由这两个基准参数得到不同类型控制器的参数，如表1 所示。

表 1 临界比例法确定的模拟控制器参数

控制器类型	Kp	Ti	Td
P	0.5Ku
PI	0.45Ku	0.85Tu
PID	0.6Ku	0.5Tu	0.12Tu

这种临界比例法使针对模拟 PID 控制器，对于数字 PID 控制器，只要采样周期取的较小，原则上也同样使用。在电动机的控制中，可以先采用临界比例法，然后在采用临界比例法求得结果的基础上，用凑试法进一步完善。

表 1 的控制参数，实际上是按衰减度为 1/4 时得到的。通常认为 1/4 的衰减度能兼顾到稳定性和快速性。如果要求更大的衰减，则必须用凑试法对参数作进一步的调整。

采样周期的选择

香农（Shannon）采样定律 ：为不失真地复现信号的变化，采样频率至少应大于或等于连续信号最高频率分量的二倍。根据采样定律可以确定采样周期的上限值。实际采样周期的选择还要受到多方面因素的影响，不同的系统采样周期应根据具体情况来选择。

采样周期的选择，通常按照过程特性与干扰大小适当来选取采样周期：即对于响应快、（如流量、压力）波动大、易受干扰的过程，应选取较短的采样周期；反之，当过程响应慢（如温度、成份）、滞后大时，可选取较长的采样周期。

采样周期的选取应与PID参数的整定进行综合考虑，采样周期应远小于过程的扰动信号的周期，在执行器的响应速度比较慢时，过小的采样周期将失去意义，因此可适当选大一点；在计算机运算速度允许的条件下，采样周期短，则控制品质好；当过程的纯滞后时间较长时，一般选取采样周期为纯滞后时间的 1/4～1/8。

参数调整规则的探索

人们通过对 PID 控制理论的认识和长期人工操作经验的总结，可知 PID 参数应依据以下几点来适应系统的动态过程。

1、在偏差比较大时，为使尽快消除偏差，提高响应速度，同时为了避免系统响应出现超调，Kp取大值，Ki取零；在偏差比较小时，为继续减小偏差，并防止超调过大、产生振荡、稳定性变坏，Kp值要减小，Ki 取小值；在偏差很小时，为消除静差，克服超调，使系统尽快稳定，Kp值继续减小，Ki值不变或稍取大。

2、当偏差与偏差变化率同号时，被控量是朝偏离既定值方向变化。因此，当被控量接近定值时，反号的比列作用阻碍积分作用，避免积分超调及随之而来的振荡，有利于控制；而当被控量远未接近各定值并向定值变化时，则由于这两项反向，将会减慢控制过程。在偏差比较大时，偏差变化率与偏差异号时，Kp 值取零或负值，以加快控制的动态过程。

3、偏差变化率的大小表明偏差变化的速率， 越大， 取值越小， 取值越大，反之亦然。同时，要结合偏差大小来考虑。

4、微分作用可改善系统的动态特性，阻止偏差的变化，有助于减小超调量，消除振荡，缩短调节时间 ts，允许加大Kp，使系统稳态误差减小，提高控制精度，达到满意的控制效果。所以，在ek比较大时，Kd取零，实际为 PI 控制；在ek比较小时，Kd取一正值，实行PID控制。

自校正 PID 控制器

对于一个特定的被控对象，在纯比例控制的作用下改变比例系数可以求出产生临界振荡的振荡周期Tu 和临界比例系数 Ku 。

根据 Z－N 条件，有

T= 0.1Tu

Ti = 0.5Tu

Td = 0.125Tu

代入（式5）则有：

∆uk＝Kp(2.45ek − 3.5ek−1 + 1.25ek−2 ) （式 7）

很显然，采用上式可以十分容易的实现常数 Kp 的校正。