单调栈 模型整理与应用 & 经典例题

单调栈

单调栈是指一个栈里所有的元素是单调的，单调递增（或递减）的，通过维护这个单调的栈我们可以实现许多的目的。

单调栈模型的应用

单调栈模型最直接的用处是来求数组每个数的往左第一个比他小的数，或往右第一个比他小的数，这类问题。

我们如何来求每个数的左边第一个比它小的数呢？最简单的做法就是从i往左循环，直到找到比他小的数为止。但这样找完n个数，时间复杂度是$O(n^2)$，有时会超时，那么我们可以用单调栈来求就可以在$O(n)$的复杂度内求出。

证明： 我们可以发现第i个数左边可以作为答案的数是单调的。假设存在$a_x$和$a_y$($x<y$并且$a_x>a_y$)，那么$a_x$永远不会作为某个数的答案的，因为它右边的任意一个数$a_i$，如果$a_x<a_i$的话，那么$a_y<a_i$，所以$a_y$是离i最近的那个，所以$a_y$就是答案。

做法： 因此我们就可以用一个单调栈来放所有可能作为答案的数，然后对于每个i在这个栈里面找答案就行，然后一直维护这个单调栈即可，具体可以看下面代码模板。
注意初始化！

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代码模板

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
const int N = 100010;

int n,a[N],l[N];	//a存数，l[i]就是第i个数左边比他小的最近的数的位置
stack<int> q;	//q是单调栈，存的是数的下标

int main()
{
	cin >> n;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cin >> a[i];
	a[0] = -1;		//数组的最左边一定要放一个最小值，来处理边界，这样就不要特殊处理左边界了
	q.push(0);		//栈初始化
	for(int i = 1;i <= n;i++)	//循环每一个数
	{
		while(a[q.top()] >= a[i])	//当栈顶元素大于等于a[i]时，他一定没法做i右边的答案了，所以就全部出队
			q.pop();
		l[i] = q.top();		//i的答案就是栈顶
		q.push(i);		//i入栈
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
		cout << l[i] << " " << endl;	//输出每一位答案
	return 0;
}

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经典例题

模板题：Acwing 131： 直方图中最大的矩形

题目大意：一堆等宽的直方图矩形，求拼成的最大面积，如图。

思路：外面枚举每一个矩形的高度，然后往左边找比他低的最近的位置，再往右找比他低的最近的位置，两个位置差-1就能得到矩形的宽，相乘就能得到面积，然后对每个高度计算出来的面积去max即可。

ac代码：

#include<iostream>
#include<stack>
using namespace std;
const int N = 100010;
typedef long long LL;

int n,h[N],l[N],r[N];	//h存高度，l存往左边找，r往右找
LL res;		//res找最大答案

int main()
{
	while(cin >> n && n)
	{
		stack<int> q;	//单调栈
		res = 0;
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			cin >> h[i];
		h[0] = h[n+1] = -1;		//初始化处理边界
		q.push(0);		//初始化单调栈
		for(int i = 1;i <= n;i++)	//单调栈模板，处理左边
		{
			while(h[q.top()] >= h[i])
				q.pop();
			l[i] = q.top();
			q.push(i);
		}
		while(q.size())		//清空栈
			q.pop();
		q.push(n+1);	//初始化单调栈
		for(int i = n;i >= 1;i--)	//单调栈模板，处理右边
		{
			while(h[q.top()] >= h[i])
				q.pop();
			r[i] = q.top();
			q.push(i);
		}
		for(int i = 1;i <= n;i++)
			res = max(res,(LL)h[i]*(r[i]-l[i]-1));		//计算面积，求max
		cout << res << endl;
	}

	return 0;
}

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经典例题： 力扣 5752. 子数组最小乘积的最大值
题目详解： 5752. 子数组最小乘积的最大值